Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ευθύγραμμο τμήμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Ευθύγραμμο τμήμα με φορέα την ευθεία .

Στην γεωμετρία, το ευθύγραμμο τμήμα είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία μεταξύ δύο σημείων και μίας ευθείας , καθώς και τα σημεία και .[1]:3-4

Η δε ευθεία καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία και , άκρα του. Η ύπαρξη του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ οποιονδήποτε σημείων και προκύπτει από τα αξιώματα της γεωμετρίας.

Είδη ευθυγράμμου τμήματος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται ανοιχτό.
  • Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σε αυτό ονομάζεται κλειστό.
  • Τέλος όταν τα άκρα και συμπίπτουν, δηλαδή , τότε ονομάζεται μηδενικό.

Το μήκος ενός ευθυγράμμου σχήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων.

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος , ονομάζεται το σημείο του εκείνο που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε . Από τα αξιώματα προκύπτει ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

Ας είναι και ευθύγραμμα τμήματα με φορείς και αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις και έτσι ώστε το να συμπίπτει με το .

  • Αν το συμπίπτει με το λέμε ότι το είναι ίσο με το και συμβολίζουμε .
  • Αν το βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος τότε λέμε ότι το είναι μεγαλύτερο από το και συμβολίζουμε .
  • Τέλος, αν το βρίσκεται στην ημιευθεία , αλλά όχι ανάμεσα στα και , τότε λέμε ότι το είναι μικρότερο από το και συμβολίζουμε .

Ιδιότητες ισότητας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Ανακλαστική, δηλαδή
Συμμετρική, δηλαδή αν τότε ισχύει και
Μεταβατική: αν και τότε ισχύει και .

Ιδιότητες ανισότητας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επίσης η σχέση ή λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή αν και τότε και .

Η σχέση ανισότητας είναι αντισυμμετρική (καθώς δεν μπορεί να ισχύει και αλλά και ) και μη-ανακλαστική (καθώς δεν ισχύει ) και επομένως είναι μία σχέση γνήσιας διάταξης.

Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω , ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα , τέτοια ώστε και . Τότε άθροισμα των και θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα και θα γράφουμε .

Το άθροισμα περισσοτέρων από δύο ευθυγράμμων τμημάτων, ορίζεται επαγωγικά μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  • Αντιμεταθετική: για κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα , ισχύει ότι .
  • Προσεταιριστική: για κάθε τρία ευθύγραμμα τμήματα ισχύει ότι .
  • Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο ισχύει .

Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

  • Αν για παράδειγμα και τότε (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
  • Αν επίσης τότε συνεπάγεται ότι (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).
Έστω ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία παίρνουμε τα και με το σημείο να κείται στο εσωτερικό του . Τότε διαφορά του από το θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα και θα γράφουμε .

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος επί ένα φυσικό αριθμό, έστω , λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που γίνεται από το αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή

  • Έστω ευθύγραμμο τμήμα και ένας φυσικός αριθμός. Αν είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο
,
τότε λέμε ότι το είναι το -πλάσιο γινόμενο του και γράφουμε , καθώς και ότι το είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του , και γράφουμε . Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι τότε μπορούμε να γράψουμε και το τμήμα ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού με το ευθύγραμμο τμήμα .

Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα . Αν ισχύει , τότε λέμε ότι το μήκος του ως προς το είναι , ή ότι η απόσταση του από το είναι .

Το πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος δια ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το , όπου και θα ισχύει η σχέση .

Σε έναν διανυσματικό χώρο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε έναν πραγματικόμιγαδικό) διανυσματικό χώρο , το (κλειστό) ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων και είναι το εξής σύνολο των σημείων

.

Το ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα, δεν περιέχει τα σημεία και , και ορίζεται ως

.

Και στις δύο περιπτώσεις, το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των σημείων και , δηλαδή

,

όπου είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Line segment στο Wikimedia Commons
  1. Πάμφιλος, Πάρις (2016). Γεωμετρικόν (PDF).