Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Τα αξιώματα επί των οποίων στηρίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία ονομάζονται γεωμετρικά αξιώματα. Πρόκειται για προτάσεις που θεωρούνται παραδεκτές χωρίς όμως και να αποδεικνύονται. Τα γεωμετρικά αξιώματα διακρίνονται σε τρεις βασικές κατηγορίες:

Αξιώματα θέσης
Αξιώματα ισότητας και
Αξιώματα διάταξης

Αξιώματα θέσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια ευθεία και σημείο εκτός ευθείας
Μια ευθεία σε επίπεδο και σημείο εκτός επιπέδου
Αξίωμα Ι: Μία ευθεία έχει τουλάχιστον δύο σημεία, ενώ υφίσταται τουλάχιστον ένα σημείο έξω από την ευθεία.
Αξίωμα ΙΙ: Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
Αξίωμα ΙΙΙ: Μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και από τα δύο μέρη, που ορίζουν τα δύο σημεία της. Συνεπώς η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος.
Αξίωμα IV: Ένα επίπεδο έχει τρία τουλάχιστον σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ένα σημείο έξω από το επίπεδο.
Αξίωμα V: Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ένα μόνο επίπεδο διέρχεται.
Αξίωμα VI: Η ευθεία που ενώνει δύο σημεία επιπέδου είναι ευθεία του επιπέδου.
Αξίωμα VII: Ένα επίπεδο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και χωρίς τέλος.
Αξίωμα VIII: Κάθε γεωμετρικό σχήμα χωρίς να μεταβληθεί μπορεί να αλλάξει θέση στο γεωμετρικό χώρο.

Αξιώματα ισότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο γεωμετρικά σχήματα ονομάζονται ίσα όταν τοποθετούμενα το ένα επί του άλλου εφαρμόζουν ακριβώς σε όλα τα μέρη τους.

Αξίωμα Ι: Ένα σχήμα είναι πάντοτε ίδιο με τον εαυτό του (ανακλαστική ιδιότητα).
Αξίωμα ΙΙ: Όταν ένα σχήμα είναι ίσο με άλλο, τότε και το δεύτερο είναι ίσο με το πρώτο (συμμετρική ιδιότητα).
Αξίωμα ΙΙΙ: Όταν δύο σχήματα είναι ίσα με ένα τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα).
Αξίωμα IV: Δύο σχήματα είναι αδύνατον να είναι ταυτόχρονα ίσα και άνισα.

Αξιώματα διάταξης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρία σημεία, έστω: Α, Β και Γ που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία (ε) λέμε ότι αποτελούν στην ευθεία την "διάταξη Α, Β, Γ" ή ότι τα τρία σημεία αυτά είναι διαδοχικά σημεία πάνω στην ευθεία. Τότε το σημείο Β λέγεται και ενδιάμεσο των Α και Γ.

Αξίωμα Ι: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που είναι ενδιάμεσο των Α και Β στην ίδια ευθεία (ε)
Αξίωμα ΙΙ: Αν Α και Β είναι επίσης δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Β να είναι ενδιάμεσο των σημείων Α και Γ.
Αξίωμα ΙΙΙ: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία μιας ευθείας τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Α πλέον να είναι ενδιάμεσο των σημείων Β και Γ.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]