Αντισυμμετρική σχέση

Στην θεωρία συνόλων, μία αντισυμμετρική σχέση είναι μία σχέση στο σύνολο , για την οποία ισχύει ότι
- για κάθε , αν και τότε ,
ή ισοδύναμα
Το πιο σύνηθες παράδειγμα τέτοιας σχέσης είναι η διάταξη , για παράδειγμα στους φυσικούς αριθμούς για την οποία δεν μπορούμε να έχουμε ότι και εκτός αν .
Παραδείγματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Οι εξής σχέσεις είναι αντισυμμετρικές:
- Η διάταξη των φυσικών αριθμών (και των πραγματικών αριθμών).
- Η διάταξη των φυσικών αριθμών (και των πραγματικών αριθμών).
- Η σχέση του «είναι απόγονος του/της» μεταξύ ανθρώπων είναι αντισυμμετρική, καθώς δεν μπορούμε να έχουμε ότι ο Γιώργος είναι απόγονος της Άννας, και ότι η Άννα είναι απόγονος του Γιώργου.
- Αντίστοιχα και με τις σχέσεις «είναι γονιός του/της», «είναι προϋστάμενος/η του/της», κ.ο.κ.
- Η σχέση «διαιρεί» στους θετικούς αριθμούς είναι αντισυμμετρική καθώς για δεν μπορεί να έχουμε και αλλά και .
- Η σχέση
- ,
- είναι αντισυμμετρική (δείτε το πρώτο σχήμα).
- Η ταυτοτική σχέση είναι αντισυμμετρική.

Οι εξής σχέσεις δεν είναι αντισυμμετρικές:
- Η σχέση του «είναι συγχωριανός/ή του», «είναι συμφοιτητής/τρια του/της».
- Η σχέση
- ,
- δεν είναι αντισυμμετρική (δείτε το δεύτερο σχήμα).
Πλήθος αντισυμμετρικών σχέσεων
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε ένα πεπερασμένο σύνολο αποτελούμενο από στοιχεία, υπάρχουν το πολύ
σχέσεις που είναι αντισυμμετρικές. Τα πλήθη δίνονται από την ακολουθία:
Απόδειξη |
Κάθε ένα από τα στοιχεία της διαγωνίου μπορεί να είναι είτε είτε ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα. Το στοιχεία στην θέση εξαρτάται μόνο από το στοιχείο . Για αυτά, λόγω του περιορισμού της αντισυμμετρικής σχέσης, είτε πρέπει να είναι και τα δύο , είτε το ένα και το άλλο . Συνεπώς, υπάρχουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις. Υπάρχουν στοιχεία στην διαγώνιο και από τα ζεύγη σχέσεων . Από την βασική αρχή απαρίθμησης προκύπτει ότι συνολικά υπάρχουν
διμελής σχέσεις που είναι αντισυμμετρικές. |
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Γιώργος Βούρος (27 Οκτωβρίου 2005). «Διακριτά Μαθηματικά: Σχέσεις και ιδιότητες» (PDF). Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 30 Απριλίου 2024.
- ↑ Φωτάκης, Δ.· Σούλιου, Δ. «Σχέσεις» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2024.