Μετάβαση στο περιεχόμενο

Διχοτόμος γωνίας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Στη γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλώς διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.[1]:52[2]:79-89[3][4]

Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα — Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.[2]: 79-80 [4]: 26 


Εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Εσωτερική διχοτόμος της κορυφής στο τρίγωνο .

Σε ένα τρίγωνο η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας είναι το ευθύγραμμο τμήμα που διχοτομεί την και είναι το σημείο της . Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών και . Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ή αντίστοιχα.

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,[4]: 95 

Έγκεντρο τριγώνου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Κύριο λήμμα: Έγκεντρο τριγώνου

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.[2]: 80 [3]: 35-36 

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]: 39 [4]: 125 

, και .

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:[5]:265-266[3]: 69 [6]:128

και ,

και επίσης

, και .

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο με ισχύει ότι , και αντίστροφα.[2]: 83 

Εξωτερικές διχοτόμοι τριγώνου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η εξωτερική διχοτόμος της κορυφής

Ένα τρίγωνο έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή . Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ή αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο .

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο η εξωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου με ικανοποιεί[4]: 95-96 

Παράκεντρα τριγώνου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το παράκεντρο του τριγώνου .

Σε ένα τρίγωνο οι εξωτερικές διχοτόμοι και η εσωτερική διχοτόμος διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.[2]: 80-81  Ονομάζεται το παράκεντρο του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα και .

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]: 40 [4]: 125-126 

, και .

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις[5]: 266-267 [3]: 70 

, και .

και επίσης

, και .

Γεωμετρική κατασκευή

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Κατασκευή διχοτόμου με κανόνα και διαβήτη

Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

  1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των δύο πλευρών της γωνίας.
  2. Θεωρούμε και τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
  3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα και και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το .
  4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

και

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.


Περαιτέρω ανάγνωση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  5. 5,0 5,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  6. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.