Στα μαθηματικά, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ή ανισότητα Κωσύ-Μπουνιακόφσκι-Σβαρτς (αναφέρεται και ως ανισότητα Cauchy-Schwarz ή ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) δίνει ότι σε οποιοδήποτε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο
και με εσωτερικό γινόμενο
, για κάθε
[1]:8[2]:19,28[3]:157[4]:66
![{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5209e310f794010879209e095cf69b6cbe520034)
όπου
,
και
η απόλυτη τιμή του
. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα
και
είναι συγγραμικά.
Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνάρτηση
που ικανοποιεί τις συνθήκες του εσωτερικού γινομένου και επομένως δίνει ως πόρισμα πολλές ανισότητες. Για παράδειγμα, για
και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο[5]:32[6]:198[7]:83
![{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7015148241464a346b8cffb23c61461a328affbf)
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
και
ισχύει ότι
![{\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ac565b5ec8bc407ef65ab422d5dca5acacd13)
Μία συνάρτηση
είναι εσωτερικό γινόμενο ενός διανυσματικού χώρου
με σώμα
(για
ή
), αν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:
για κάθε
με
.
για κάθε
.
για κάθε
και
.
H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
![{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5209e310f794010879209e095cf69b6cbe520034)
όπου
και
και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα
και
είναι συγγραμικά, δηλαδή
για κάποιο
.
Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα.[1]: 12-16 Παρακάτω δίνεται μία απόδειξη που δουλεύει μόνο για πραγματικούς χώρους και μία που δουλεύει για κάθε διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.
Έστω
. Θεωρούμε το διάνυσμα
για τυχόν
. Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου
.
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}-2\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\lambda ^{2}\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c75b2cf435d377a36126432d6f5a333044d933)
Όταν
(δηλαδή όταν
) τo δεξί μέλος είναι ένα τριώνυμο του
και για να είναι πάντα μη-αρνητικό πρέπει να έχει διακρίνουσα
. Επομένως,
.
Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,
,
που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση
, η οποία προκύπτει άμεσα καθώς και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν.
Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα
, δηλαδή με
, ισχύει ότι
![{\displaystyle \lVert \mathbf {u} +\mathbf {v} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e2fc987de5a4795cb24de2a317be668bf59868)
Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε
. Αν
, τότε
και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν, επομένως ισχύει άμεσα. Διαφορετικά, θεωρούμε το διάνυσμα
![{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd18dd38f9693c0f123c7ced0345c81fcd67e4fa)
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο
, καθώς
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle &=\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a0dcbf0ec82a77ba3a5299b4a97db4e1f369)
Επομένως,
![{\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}=\left\|\mathbf {z} +{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+\left\|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+{\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62540e877fd4edb88480247551e8bc8184a3872e)
|
|
(1)
|
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα
![{\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\geq |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da7081ebca212b90387032a368b8e4347d7df06)
Επίσης, η ισότητα από την (1) ισχύει αν και μόνο αν,
δηλαδή ανν
,
δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.
Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο.[2]: 19 Θεωρούμε
, τότε
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}&=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\mathrm {Re} (\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle )+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb40e7332c9c5868eb963ccd0d67830a457febf7)
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό
το πραγματικό του μέρος είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του,
.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,
![{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}=(\lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ff5b88cf8d547e1902b9bc3645807d7aadcde4)
Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε
![{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert \leq \lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7b6deea2aa9d8fa4b2c419bbae564b6448a60e)
Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο
![{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7015148241464a346b8cffb23c61461a328affbf)
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
και
ισχύει ότι
![{\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ac565b5ec8bc407ef65ab422d5dca5acacd13)
Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων
που είναι ολοκληρώσιμες στο
που ορίζεται ως
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9320897fbfc39e4bdde849946a860a22e3c230)
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι[8]:Ανισότητα (C), σελ. 4[7]: 91
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx\leq \left(\int _{a}^{b}f^{2}(x)\ dx\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}g^{2}(x)\ dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904d72186de64ae1a509df9f63f58113bfcff19b)
Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.
Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82081b45b162237183374dbcba07217803b2493)
μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.[9]:Θεώρημα 17, σελ.457-459[1]: 19-24
Στην θεωρία πιθανοτήτων, για δύο τυχαίες μεταβλητές
, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι[10]:187-188[11]:242[12]:64-65
![{\displaystyle (\operatorname {E} (XY))^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c8237c7f540c492f46a8d453b2e7296705cd61)
με την ισότητα να ισχύει αν
για κάποια
.
Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές
και
, λαμβάνουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί[13]
![{\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9a707a2005d3cc5c910a88d1340339f450ea98)
καθώς
![{\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}={\frac {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)))}{\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y))^{2})}}={\frac {\operatorname {E} (X'Y')}{\operatorname {E} ((X')^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y')^{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd687e3ba69f81d5174637e152c9f5eb46c8f8c)
Στον Ευκλείδειο χώρο
, για δύο διανύσματα
και
την γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, ισχύει ότι
.
Σε
η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων
ορίζεται από τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή η γωνία
μεταξύ του
και
ορίζεται ως[2]: 28 [3]: 157
.
Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει
![{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\in [-1,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c59f564825b5526486ca1dd79df428f136c8fa)
το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.
Η ανισότητα για το
και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται σε εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.[9]: Θεώρημα 16, σ. 455 Η ανισότητα για τα ολοκληρώματα εμφανίζεται με την μοντέρνα της μορφή σε εργασία του Μπουνιακόφσκι.[8]: Ανισότητα (C), σελ. 4 Η ανισότητα για δύο ολοκληρώματα εμφανίζεται σε εργασία του Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.[14] Διάφορες εργασίες κοιτάνε την ιστορία αυτής της ανισότητας και μελετούν τις γενικεύσεις της.[7]: Κεφάλαιο 4 [15][16]
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780511817106.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Cowley, S. J. (2010). «Mathematical Tripos: IA Vectors & Matrices» (PDF). Cambridge University. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
- ↑ 3,0 3,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
- ↑ Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF). Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
- ↑ Kolmogorov, A. N. (1970). Introductory real analysis. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61226-3.
- ↑ Zeitz, Paul (1999). The art and craft of problem solving. New York: John Wiley. ISBN 0-471-13571-2.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.
- ↑ 8,0 8,1 Bunyakovsky, Viktor (1859). «Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies». Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 6. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf.
- ↑ 9,0 9,1 Cauchy, A.-L. (1821). «Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités». Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377.
- ↑ Casella, George· Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference (2η έκδοση). Cengage Learning. ISBN 978-81-315-0394-2.
- ↑ Feller, William (1950). An introduction to probability theory and its applications Volume I (3η έκδοση). Wiley.
- ↑ Grimmett, Geoffrey (2001). Probability and random processes (3η έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0.
- ↑ Κολουντζάκης, Μ. «Βίντεο 2: Ανισότητα Cauchy-Schwarz. Συντελεστής συσχέτισης δύο ΤΜ». Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
- ↑ Schwarz, H. A. (1888). «Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung». Acta Societatis Scientiarum Fennicae XV: 318. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf.
- ↑ Dragomir, S. S.; Sofo, A. (2008). «On some inequalities of Cauchy-Bunyakovsky type and applications». Tamkang Journal of Mathematics 39 (4): 291-301.
- ↑ Dragomir, S. S. (2003). «A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities». Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/010_03_JIPAM/010_03.pdf.