Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λέει ότι ο αριθμητικός μέσος
μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, για τρεις αριθμούς
,
.
Στην γενική περίπτωση για
μη-αρνητικούς αριθμούς
, ισχύει ότι[1]:2-11[2]:19-36[3][4][5]:32-33[6]:440-443[7]:71-118
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f7b44e1a9c4846193e881ae8b561ff92fb6bb)
Η ανισότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει αρκετές άλλες ανισότητες στα μαθηματικά και βρίσκει εφαρμογές στην ανάλυση αλγορίθμων και στην θεωρία βελτιστοποίησης. Η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα ΑΜ-ΓΜ από την σύντμηση των αρχικών του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου.
Θα αποδείξουμε την την περίπτωση
, όπου η ανισότητα έχει την μορφή
.
Με απλές αναδιατάξεις,
,
η οποία ισχύει, καθώς για κάθε πραγματικό αριθμό το τετράγωνό του είναι μη-αρνητικό.
Σχήμα για την γεωμετρική απόδειξη της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για

. Στο σχήμα

και

. Έπεται ότι

και

.
Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα
μήκους
και το σημείο
αυτού, ώστε
(και
). Θεωρούμε επίσης το μέσο αυτού
και τον κύκλο με κέντρο αυτό το σημείο.
Επίσης θεωρούμε
ένα από τα σημεία που τέμνει η κάθετη από τo
στο
. Τότε το τρίγωνο
είναι ορθογώνιο καθώς βλέπει στην διάμετρο και
(δηλαδή ίσο σε μήκος με τον αριθμητικό μέσο).
Προχωράμε θεωρώντας
το σημείο που τέμνει η κάθετη από το
τον κύκλο στην πλευρά του
. Από την ομοιότητα των τριγώνων
και
, προκύπτει ότι
,
δηλαδή το
είναι ίσο σε μήκος με τον γεωμετρικό μέσο. Συνεπώς, έπεται η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου από το γεγονός ότι
.
Η λογαριθμική συνάρτηση
είναι κοίλη για
, καθώς
και
.
Επομένως, από την ανισότητα Γένσεν, έχουμε ότι
.
Από τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης
και
, έχουμε ότι
.
Επειδή η συνάρτηση
είναι αυστηρώς μονότονη, έχουμε ότι
,
που είναι και η ζητούμενη ανισότητα. Επίσης, προκύπτει ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
.
Θα αποδείξουμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι η ανισότητα ισχύει.
Βασική Περίπτωση: Για
, η ανισότητα είναι προφανής.
Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι η ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε
, δηλαδή
.
Τότε, θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για
. Θεωρούμε την συνάρτηση
![{\displaystyle f(t)={\frac {1}{n+1}}\cdot \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}+{\frac {t}{n+1}}-{\sqrt[{n+1}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb973ad285e84a8ac97a837db83bc5260de7a8e)
Θα δείξουμε ότι για κάθε
η συνάρτηση
και επομένως η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου ισχύει και για
μεταβλητές. Η παράγωγος της
δίνεται από την
![{\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}\cdot {\sqrt[{n+1}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\cdot t^{1/(n+1)-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125df378c45038f7a263b7f119b2e9fb2de54a37)
Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης δίνεται από το
με
.
Τότε

χρησιμοποιώντας στην τελευταία ανίσωση την επαγωγική υπόθεση ότι
. Από την μαθηματική επαγωγή ισχύει για όλα τα
.
Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα της αναδιάταξης για να αποδείξουμε την ΑΜ-ΓΜ. Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε
για οποιαδήποτε σταθερά
, τότε η μορφή της ανισότητας δεν αλλάζει, δηλαδή,
και ![{\displaystyle \quad {\sqrt[{n}]{b_{1}\cdot \ldots \cdot b_{n}}}={\sqrt[{n}]{(\lambda a_{1})\cdot \ldots \cdot (\lambda a_{n})}}=\lambda \cdot {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999c0be67d1f502618a56953cb79c1ff8a5c3f43)
Επομένως,
αν και μόνο αν
.
Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε
με γινόμενο
. Θεωρούμε επίσης

Από την ανισότητα της αναδιάταξης
.
Δηλαδή,
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq 1={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c44495754839f59a40e29633b4a3383b10938f4)
Θέτοντας
για κάθε
στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι
.
Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη λαμβάνουμε ότι
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606fc3d5b57412ad6e8123b37f5634229e238321)
δηλαδή ο αρμονικός μέσος είναι μικρότερος ή ίσος του γεωμετρικού, με ισότητα αν και μόνο αν
.
Θα αποδείξουμε την ανισότητα Νέσμπιττ για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς
:

Θεωρούμε
,
και
. Τότε, έχουμε ότι
,
, και
.
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

η οποία είναι ισοδύναμη με την

Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για
όρους,
.
- ↑ Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
- ↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
- ↑ Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.
- ↑ Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.
- ↑ Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.