Αφαίρεση

"5 - 2 = 3" (προφορικά, "πέντε μείον δύο ισούται με τρία")

Ένα παράδειγμα

Η αφαίρεση είναι μια από τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, και είναι η αντίθετη της πρόσθεσης, σημαίνει ότι αν αρχίσουμε με οποιοδήποτε αριθμό και προσθέσουμε οποιονδήποτε και μετά αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό που προσθέσαμε, επιστρέφουμε στον αριθμό που αρχίσαμε. Η αφαίρεση δηλώνεται με το σύμβολο πλην, σε αντίθεση με την πρόσθεση όπου χρησιμοποιείται το σύμβολο συν. Η αφαίρεση δεν είναι αντιμεταθετική πράξη, και τα δύο ορίσματα της πράξεως ονομάζονται. Τα παραδοσιακά ονόματα για τα μέρη του τύπου: c -b=a είναι (c) μειωτέος, το (b) αφαιρετέος και το (a) διαφορά.

Η αφαίρεση χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει διάφορες συσχετιζόμενες διεργασίες:

1. Από μια δοσμένη ομάδα αντικειμένων, αφαίρεσε (απομάκρυνε) ένα δοσμένο αριθμό αντικειμένων. Για παράδειγμα, 5 μήλα πλην 2 μήλα αφήνουν 3 μήλα.
2. Από μια δοσμένη μέτρηση αφαίρεσε μια ποσότητα της ίδιας μονάδας. Για παράδειγμα, αν ζυγίζει κάποιος 90 κιλά και χάσει 20, τότε ζυγίζει 70 κιλά.
3. Σύγκρινε δύο ποσότητες για να βρεις τη διαφορά τους. Για παράδειγμα, η διαφορά μεταξύ €800 και €600 είναι €800 - €600 = €200.
4. Για να βρεις την απόσταση μεταξύ δύο τοποθεσιών. Για παράδειγμα, αν σε μια εθνική οδό βλέπεις μια ταμπέλα που λέει βενζινάδικο σε 5 χιλιόμετρα και μετά βλέπεις μια άλλη ταμπέλα που λέει βενζινάδικο σε 2 χιλιόμετρα σημαίνει πως ταξίδεψες 3 χιλιόμετρα.

Στα μαθηματικά, είναι συχνά χρήσιμο να οριστεί η αφαίρεση ως ένα είδος πρόσθεσης, η πρόσθεση του αντιθέτου. Μπορεί κανείς να σκεφτεί το 7 - 3 = 4 ως το άθροισμα δύο όρων: επτά και μείον τρία. Αυτός ο τρόπος σκέψης επιτρέπει τη χρήση όλων των κανόνων της πρόσθεσης στην αφαίρεση χωρίς την ανάγκη νέων ορισμών. Η αφαίρεση δεν είναι προσεταιριστική ούτε αντιμεταθετική, αλλά η πρόσθεση προσημασμένων αριθμών έχει και τις δυο αυτές ιδιότητες.

Βασική αφαίρεση : ακεραίων

Φαντάσου ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους b με το αριστερό άκρο να είναι το a και το δεξί άκρο να είναι το c. Ξεκινώντας από το a χρειάζεται b βήματα προς τα δεξιά για το φτάσει στο c.

Αυτή η κίνηση προς τα δεξιά διατυπώνεται στα μαθηματικά με την πρόσθεση: a+b=c . Από το c, χρειάζεται b βήματα προς τα αριστερά για να πάει στο a. Αυτή η κίνηση προς τα αριστερά παριστάται c-b=a.

Τώρα φανταστείτε ένα ευθύγραμμο τμήμα με τους αριθμούς 1, 2, 3 διαδοχικά. Από την θέση 3 δεν απαιτούνται βήματα προς τα δεξιά έτσι 3-0=3. Χρειάζεται 2 βήματα προς τα αριστερά για να φτάσουμε στην θέση 1 έτσι 3-2=1. Αυτή η εικόνα είναι ανεπαρκής για να περιγράψουμε τι πρόκειται να συμβεί μετά από 3 βήματα προς τα αριστερά από την θέση 3. Για να αναπαραστήσουμε αυτό, η γραμμή πρέπει να επεκταθεί. Για να αφαιρέσεις ένα αυθαίρετο φυσικό αριθμό, ξεκινάς με μία γραμμή που περιέχει κάθε φυσικό αριθμό (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....). Από το 3, χρειαάζονται 3 βήματα προς τα αριστερά για να φτάσεις στο 0, έτσι 3-3=0. Αλλά 3-4 δεν είναι ακόμη έγκυρο δεδομένου ότι αφήνει ξανά την γραμμή. Οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι ένα χρήσιμο πλαίσιο για αφαίρεση. Η λύση σε αυτό θεωρείται ο ακέραιος αριθμός (...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...). Από το 3 χρειάζονται 4 βήματα προς τα αριστερά για να δώσει -1: 3-4=-1.

Αφαίρεση ως προσθήκη

Υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις όποτε η αφαίρεση σαν μία ξεχωριστή πράξη γίνεται προβληματική. Για παράδειγμα, 3-(-2)(δηλαδή αφαιρεί -2 από 3) δεν είναι άμεσα ορατό είτε από ένα φυσικό αριθμό είτε από αριθμό γραμμής, επειδή δεν είναι αμέσως ξεκάθαρο το τι σημαίνει να κινηθεί -2 βήματα προς τα αριστερά ή για να πάρει -2 μήλα. Μια λύση είναι να δούμε την αφαίρεση ως προσθήκη από υπογεγραμμένους αριθμούς. Επιπλέον σύμβολα πλην δηλώνουν απλά την αντίστροφη πρόσθετη. Τότε έχουμε 3-(-2)=3+2=5. Αυτό επίσης βοηθάει στο να κρατήσει τον δακτύλιο των ακεραίων απλό αποφεύγοντας την εισαγωγή νέων πράξεων πράξεων όπως η αφαίρεση. Συνήθως, ένα δακτύλιος έχει μόνο δύο πράξεις που ορίζονται σ' αυτόν. Στην περίπτωση των ακεραίων, υπάρχουν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Ένας δακτύλιος έχει ήδη την έννοια της αντίθετης πρόσθετης ύλης, αλλά δεν έχει καθόλου ιδέα από μια ξεχωριστή πράξη της αφαίρεσης, έτσι η χρήση του συμβόλου της πρόσθεσης σαν αφαίρεση μας επιτρέπει να εφαρμόζουμε τα αξιώματα του δακτυλίου στην αφαίρεση χωρίς να χρειάζεται να αποδείξουμε τίποτα.

Αλγόριθμοι για αφαίρεση

Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι για αφαίρεση και διαφέρουν ως προς την καταλληλότητά τους για διάφορες εφαρμογές. Ένας αριθμός μεθόδων προσαρμόστηκε στους υπολογισμούς με το χέρι: για παράδειγμα όταν γίνονται αλλαγές, καμία πραγματική αφαίρεση δεν εφαρμόζεται, αλλά μάλλον η αλλαγή κατασκευής μετράει προς τα εμπρός.

Για υπολογισμούς μηχανής, προτιμάται η μέθοδος του συμπληρώματος, μέσω του οποίου η αφαίρεση αντικαθίσταται από μια πρόσθεση σε μια στοιχειώδη αριθμητική (modular αριθμητική ή αριθμητική ρολογιού).

Η μέθοδος την οποία διδάσκονται τα παιδιά στο δημοτικό σχολείο ποικίλει από χώρα σε χώρα, και μέσα στην χώρα, διαφορετικές μέθοδοι επικρατούν κατά καιρούς. Στα παραδοσιακά μαθηματικά, μια συγκεκριμένη διαδικασία διδάσκεται στα παιδιά στο τέλος της 1ης σχολικής χρονιάς ή της 2ης για να χρησιμοποιούν πολυψήφιους αριθμούς, και επεκτείνεται είτε στην τετάρτη είτε στην πέμπτη τάξη για να συμπεριλάβει δεκαδικές παραστάσεις από κλασματικούς αριθμούς.

Τα αμερικάνικα σχολεία αυτή τη στιγμή διδάσκουν μια μέθοδο αφαίρεσης δανείζοντας και ένα σύστημα σήμανσης που ονομάζεται κρατούμενο. Παρόλο που μια μέθοδος του δανεισμού ήταν γνωστή και δημοσιεύτηκε στα διδακτικά βιβλία, κατά τα φαινόμενα τα κρατούμενα είναι εφεύρεση του William A.Brownell, ο οποίος τα χρησιμοποίησε σε μια μελέτη το Νοέμβριο του 1937. Το σύστημα αυτό έπιασε γρήγορα, αντικαθιστώντας τις άλλες μεθόδους της αφαίρεσης που χρησιμοποιούνταν στην Αμερική εκείνη την περίοδο.

Στην Ευρώπη τα παιδιά διδάσκονται, και κάποιοι παλαιότεροι Αμερικάνοι χρησιμοποιούν, μια μέθοδο αφαίρεσης που ονομάζεται η Αυστριακή μέθοδος, επίσης γνωστή ως η μέθοδος προσθήκες. Δεν υπάρχει δανεισμός σε αυτή την μέθοδο. Υπάρχουν επίσης κρατούμενα (σημάδια που βοηθούν την μνήμη) τα οποία ποικίλουν ανάλογα με την χώρα.

Και οι δύο μέθοδοι έχουν χωρίσει την αφαίρεση σαν μια διαδικασία ενός ψηφίου αφαίρεσης από την θέση αξίας. Αρχίζοντας με ένα λιγότερο σημαντικό ψηφίο, μια αφαίρεση από τον αφαιρετέο:

s_j s_j−1...s₁

από τον μειωτέο:

m_k m_k−1...m₁, όπου κάθε s_i και m_k είναι ένα ψηφίο, προχωρά σημειώνοντας m₁ -s₁, m₂ -s₂, και τα λοιπά, υπό τον όρο ότι s_i δεν υπερβαίνει το m_i. Διαφορετικά, m_i αυξάνεται κατά 10 φορές και μερικά άλλα ψηφία τροποποιούνται για να διορθώσουν αυτή την αύξηση. Η αμερικάνικη μέθοδος διορθώνει προσπαθώντας να μειώσει το ψηφίο του μειωτέου m_i+1 κατά ένα (ή συνεχίζοντας τον δανεισμό προς τα αριστερά μέχρι να υπάρχει ένα μη μηδενικό ψηφίο από το οποίο να δανειστεί). Η Ευρωπαϊκή μέθοδος διορθώνει αυξάνοντας το ψηφίο του αφαιρετέου s_i+1 κατά ένα.

Παράδειγμα: 704-512. Ο μειωτέος είναι 704, ο αφαιρετέος είναι 512. Τα ψηφία του μειωτέου είναι m₃=7, m₂= 0 και m₁=4. Τα ψηφία του αφαιρετέου είναι s₃=5, s₂=1 και s₁=2. Ξεκινώντας στο χώρο του καθενός, το 4 δεν είναι μικρότερο του 2 έτσι η διαφορά 2 γράφεται σε ένα μέρος του αποτελέσματος. Στη θέση των δεκάδων το 0 είναι μικρότερο από το 1 έτσι το 0 αυξάνεται μέχρι το 10 και η διαφορά με 1, η οποία είναι 9, γράφεται στη θέση των δεκάδων. Η αμερικάνικη μέθοδος διορθώνει για την αύξηση των δέκα με τη μείωση του ψηφίου του μειωτέου στη θέση των εκατοντάδων κατά ένα. Το 7 διαγράφεται και αντικαθίσταται από το 6. Η αφαίρεση μετά γίνεται στη θέση των εκατοντάδων, όπου το 6 δεν είναι μικρότερο από το 5, έτσι η διαφορά γράφεται στη θέση των εκατοντάδων του αποτελέσματος. Έχουμε βρει αποτέλεσμα το 192.

Η αυστριακή μέθοδος δεν θα μειώσει το 7 σε 6. Μάλλον θα αυξήσει το ψηφίο του αφαιρετέο στην θέση των εκατοντάδων κατά ένα. Ένα μικρό σύμβολο είναι φτιαγμένο δίπλα ή κάτω από αυτό το ψηφίο (εξαρτάται από το σχολείο). Μετά η αφαίρεση συνεχίζεται ρωτώντας ποιος αριθμός κάνει 7 όταν αυξάνεται με 1 και το 5 προστίθεται σε αυτόν. Η απάντηση είναι το 1 και γράφεται σαν αποτέλεσμα στη θέση των εκατοντάδων.

Υπάρχει μια πρόσθετη λεπτότητα στο ότι το παιδί πάντα χρησιμοποιεί μια διανοητική αφαίρεση πίνακα στην αμερικάνικη μέθοδο. Η αυστριακή μέθοδος συχνά ενθαρρύνει το παιδί να χρησιμοποιήσει νοερά τον προσθετικό πίνακα αντίστροφα. Στο παραπάνω παράδειγμα, αντί να προσθέσουμε το 1 στο 5 και να πάρουμε 6, το αφαιρούμε από το 7, το παιδί καλείται να εξετάσει ποιος αριθμός, όταν αυξηθεί με 1 και προστεθεί το 5 σε αυτό κάνει 7.

Βιβλιογραφία

• Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) PDF

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Subtraction», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/s091050 
• Printable Worksheets: Subtraction Worksheets, One Digit Subtraction, Two Digit Subtraction, Four Digit Subtraction, and More Subtraction Worksheets
• Subtraction Game at cut-the-knot
• Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead