Υπεργεωμετρική κατανομή

Παράδειγμα δείγματος από την υπεργεωμετρική κατανομή με $N=22$, $K=11$ και $n=3$. Παρατηρήστε ότι η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση.

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τηυ υπεργεωμετρική κατανομή με $N=100$, $n=25$ και $K=10,30,60$.

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για τη υπεργεωμετρική κατανομή με $N=100$, $n=25$ και $K=10,30,60$..

Υπεργεωμετρική Κατανομή

Συμβολισμός	${\mathsf {H}}(N,K,n)$
Παράμετροι	$N\in \mathbb {N}$ (το μέγεθος του πληθυσμού) $K\in \{0,1,\ldots ,N\}$ (το πλήθος των επιτυχιών) $n\in \{0,1,\ldots ,N\}$ (το πλήθος των δειγμάτων)
Φορέας	$k\in \{\max(0,n+K-N),\ldots ,\min(n,k)\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\frac {{\tbinom {K}{k}}\cdot {\tbinom {N-K}{n-k}}}{\tbinom {N}{n}}}$
Μέσος	$n\cdot {\frac {K}{N}}$
Επικρατούσα τιμή	$\left\lceil {\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}\right\rceil -1$, $\left\lfloor {\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Διακύμανση	$n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot {\frac {N-K}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

Η υπεργεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που δίνει το πλήθος των επιτυχιών σε $n$ δείγματα (χωρίς επανάληψη) σε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους $N$, εκ των οποίων τα $K$ είναι επιτυχίες.

Η κατανομή γίνεται εύκολα κατανοητή με την περιγραφή της μέσω ενός μοντέλου με κάλπες. Θεωρούμε μια κάλπη με $K$ πράσινες μπάλες (επιτυχίες) και $N-K$ κόκκινες (αποτυχίες). Από την κάλπη παίρνουμε χωρίς επανατοποθέτηση $n$ μπάλες. Η υπεργεωμετρική κατανομή μας δίνει την πιθανότητα $k$ από αυτές να είναι πράσινες.

Ορισμός

Η πιθανότητα να υπάρχουν $k\in \{\max(0,n+K-N),\ldots ,\min(n,k)\}$ επιτυχίες είναι:

$\operatorname {P} (X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},$

όπου ${\tbinom {x}{y}}$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Από την ταυτότητα Βαντερμόντε προκύπτει ότι ο παραπάνω ορισμός δίνει μία έγκυρη συνάρτηση πιθανότητας.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Αν έχουμε $N=6$ μπάλες εκ των οποίων οι $K=2$ είναι πράσινες, τότε οι πιθανότητες να διαλέξουμε $k=0,1,2$ πράσινες σε δύο δείγματα δίνονται ως εξής:

Πλήθος επιτυχιών	Δείγματα	Πιθανότητα
$X=0$	${\color {red}\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}\qquad$ ${\color {red}\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{3}}\qquad$ ${\color {red}\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{4}}\qquad$ ${\color {red}\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{3}}\qquad$ ${\color {red}\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{4}}$ ${\color {red}\mathrm {R} _{3}\mathrm {R} _{4}}$	${\frac {6}{15}}$
$X=1$	${\color {green}\Pi _{1}}{\color {red}R_{1}}\qquad$ ${\color {green}\Pi _{2}}{\color {red}\mathrm {R} _{1}}$ ${\color {green}\Pi _{1}}{\color {red}R_{2}}\qquad$ ${\color {green}\Pi _{2}}{\color {red}\mathrm {R} _{2}}$ ${\color {green}\Pi _{1}}{\color {red}R_{3}}\qquad$ ${\color {green}\Pi _{2}}{\color {red}\mathrm {R} _{3}}$ ${\color {green}\Pi _{1}}{\color {red}R_{4}}\qquad$ ${\color {green}\Pi _{2}}{\color {red}\mathrm {R} _{4}}$	${\frac {8}{15}}$
$X=2$	${\color {green}\Pi _{1}\Pi _{2}}$	${\frac {1}{15}}$

Παράδειγμα 2ο

Για $X\sim {\mathsf {H}}(22,11,3)$ έχουμε ότι

$\operatorname {P} (X=2)={\frac {{\binom {11}{2}}\cdot {\binom {11}{1}}}{\binom {22}{2}}}={\frac {11}{84}}.$

Μέση τιμή

Έστω $X\sim {\mathsf {H}}(N,K,n)$, τότε μπορούμε να γράψουμε ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$, όπου $X_{i}$ είναι η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για το γεγονός

${\mathcal {E}}_{i}=\{$ Το $i$-οστό δείγμα ήταν επιτυχία$\}$.

Αφού υπάρχουν $K$ επιτυχίες συνολικά, έχουμε ότι

$\operatorname {P} ({\mathcal {E}}_{i})={\frac {K}{N}}.$

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} [X_{i}]=n\cdot {\frac {K}{N}}.$

Διακύμανση

Όπως και για την μέση τιμή, γράφουμε ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$. Τότε από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε για την διακύμανση ότι

Για την διακύμανση, από την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι

$\operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {K}{N}}\cdot \left(1-{\frac {K}{N}}\right).$

(1)

Για την συνδιακύμανση, έχουμε ότι

$\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]=\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]-\operatorname {E} [X_{i}]\cdot \operatorname {E} [X_{j}].$

Για τον πρώτο όρο, έχουμε

$\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]=\operatorname {E} [X_{i}|X_{j}=1]\cdot \operatorname {P} (X_{j}=1)={\frac {K-1}{N-1}}\cdot {\frac {k}{N}}.$

Επομένως,

$\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {K}{N}}\cdot {\frac {K}{N}}-{\frac {K-1}{N-1}}\cdot {\frac {K}{N}}={\frac {K}{N}}\cdot \left({\frac {K}{N}}-{\frac {K-1}{N-1}}\right)={\frac {K\cdot (N-K)}{N^{2}\cdot (N-1)}}.$

Επιστρέφοντας στην (1), λαμβάνουμε ότι

${\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot \left(1-{\frac {K}{N}}\right)+n\cdot (n-1)\cdot {\frac {K\cdot (N-K)}{N^{2}\cdot (N-1)}}\\&=n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot {\frac {N-K}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}.\end{aligned}}$

Επικρατούσα τιμή

Η επικρατούσα τιμή της κατανομής δίνεται από το $\lfloor v\rfloor$ ή $\lceil v\rceil -1$, όπου

$v={\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}.$

Ο λόγος είναι ότι $\operatorname {P} (X=k)>\operatorname {P} (X=k-1)$ αν και μόνο αν $k<v$, καθώς

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {P} (X=k)}{\operatorname {P} (X=k-1)}}>1&\Leftrightarrow {\frac {{\frac {K!}{k!(K-k)!}}\cdot {\frac {(N-K)!}{(N-k)!(N-K-n+k)!}}}{{\frac {K!}{(k-1)!(K-k+1)!}}\cdot {\frac {(N-K)!}{(n-k+1)!\cdot (N-K-n+k-1)!}}}}>1\\&\Leftrightarrow {\frac {K-k+1}{k}}\cdot {\frac {n-k+1}{N-K-n+k}}>1\\&\Leftrightarrow k<{\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}\end{aligned}}$

Ανισότητες

Για $X\sim {\mathsf {H}}(N,K,n)$ έχουμε ότι για $p={\frac {K}{N}}$ και κάθε $t\geq 0$,

$\operatorname {P} \left(X\geq (p+t)\cdot n\right)\leq \left(\left({\frac {p}{p+t}}\right)\cdot \left({\frac {1-p}{1-p-t}}\right)^{1-p-t}\right)^{n}\leq e^{-2t^{2}n}.$

Δείτε επίσης

• Διωνυμική κατανομή
• Πολυωνυμική κατανομή
• Διωνυμικός συντελεστής