Μετάβαση στο περιεχόμενο

Κατανομή Μπερνούλλι

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Μπερνούλλι για .
Κατανομή Μπερνούλλι
Συμβολισμός
Παράμετροι
Φορέας
Συνάρτηση Μάζας
Πιθανότητας
Μέσος
Διάμεσος
Διακύμανση
Λοξότητα
Κύρτωση
Εντροπία
Ροπή
Ροπογεννήτρια
Χαρακτηριστική


Η κατανομή Μπερνούλλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας .

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές ή , δηλαδή . Για έχουμε επιτυχία και για αποτυχία. Λέμε ότι η ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι για αν:[1]:18[2][3]

και
.

Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου αντιστοιχεί σε κορώνα και σε γράμματα.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με .

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

χρησιμοποιώντας ότι .

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε :

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν .

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

Χαρακτηριστική συνάρτηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

  1. Φωτάκης, Δημήτρης. «Πιθανότητες και Αλγόριθμοι» (PDF). Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023. 
  2. Χαραλαμπίδης, Χαράλαμπος Α. «Βασικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023. 
  3. Δαμιανού, Χ.· Παπαδάτος, Χ.· Χαραλαμπίδης, Χ.Α. (2003). «Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023.