Αριθμοί του Πελ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, οι αριθμοί του Πελ είναι μια άπειρη ακολουθία ακεραίων αριθμών που είναι γνωστοί απ την αρχαιότητα, οι παρονομαστές της πλησιέστερης ορθολογικής προσέγγισης στην τετραγωνική ρίζα του 2. Αυτή η ακολουθία των προσεγγίσεων ξεκινάει 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, και 41/29, έτσι η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 1, 2, 5, 12, και 29. Οι αριθμητές της ίδιας ακολουθίας των προσεγγίσεων είναι το ήμισυ των companion αριθμών Πελ ή αριθμοί των Πελ-Λούκας. Αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια δεύτερη άπειρη ακολουθία που ξεκινά με 2, 6, 14, 34, και 82.

Μαζί, οι αριθμοί του Πελ και οι companion αριθμών Πελ μπορούν να υπολογιστούν με την βοήθεια μιας σχέσης επανάληψης παρόμοιας με αυτής για τους αριθμούς Φιμπονάτσι, και ακόμη και οι δυο ακολουθίες αριθμών αυξάνονται εκθετικά, αναλογικά με τις δυνάμεις της ασημένιας αναλογίας 1 + √2. Καθώς χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του δυο, οι αριθμοί του Πελ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί το τετράγωνο των τριγωνικών αριθμών, για να κατασκευαστούν οι προσεγγίσεις των ακεραίων στο σωστό ισοσκελές τρίγωνο, και για να λύσει συγκεκριμένα προβλήματα συνδυαστικής απαρίθμησης. [1]

Όπως και με την εξίσωση του Πελ, το όνομα των αριθμών του Πελ πηγάζει από την λανθασμένη απόδοση του Λέοναρντ Όιλερ της εξίσωσης και των αριθμών που προέρχονται απ αυτήν του Τζον Πελ. Οι αριθμοί Πελ-Λούκας έχουν επίσης ονομαστεί από τον Έντουαρντ Λούκας, που μελέτησε ακολουθίες που καθορίζονται από επαναλήψεις του τύπου αυτού. Οι αριθμοί Πελ και οι companion αριθμοι Πελ είναι ακολουθίες του Λούκας.

Οι αριθμοί του Πελ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι αριθμοί του Πελ ορίζονται από την σχέση επανάληψης

P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}

Με λόγια, η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 0 και 1, και μετά κάθε ένας αριθμός του Πελ είναι το άθροισμα του διπλάσιου προηγούμενου αριθμού Πελ και του αριθμού του Πελ πριν απ' αυτόν. Μερικοί απ τους πρώτους όρους της ακολουθίας είναι
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378... Πρότυπο:OEIS..

Οι αριθμοί του Πελ μπορούν επίσης να εκφραστούν με τον τύπο κλειστής μορφής

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

Για μεγάλες τιμές του n, ο \scriptstyle (1+\sqrt 2)^n όρος κυριαρχεί αυτήν την έκφραση, έτσι οι αριθμοί του Πελ είναι περίπου ανάλογοι στις δυνάμεις της ασημένιας αναλογίας \scriptstyle (1+\sqrt 2), ανάλογοι στον ρυθμό ανάπτυξης τον αριθμών Φιμπονάτσι σαν δυνάμεις της χρυσής αναλογίας.

Ένας τρίτος ορισμός είναι δυνατός, απ τον τύπο μήτρας

\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.

Πολλές ταυτότητες μπορούν να εξαχθούν ή να αποδειχθούν από αυτούς τους ορισμούς. Για παράδειγμα μια ταυτότητα ανάλογη της ταυτότητας του Κασίνι για τους αριθμούς του Φιμπονάτσι,

P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,


είναι μια άμεση συνέπεια του τύπου του πίνακα (διαπιστώθηκε από την εξέταση των παραγόντων που επηρεάζουν τις μήτρες στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της τύπου της μήτρας).[2]

Προσέγγιση στην τετραγωνική ρίζα του (2) δύο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορθολογικές προσεγγίσεις του κανονικού οκταγώνου , με συντεταγμένες που προέρχονται από τους αριθμούς Pell.

Οι αριθμοί του Πελ προκύπτουν ιστορικά και κυρίως στην ορθολογική προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 Αν δυο μεγάλοι ακέραιοι x και y σχηματίζουν μια λύση της εξίσωσης του Πελ

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,


τότε η αναλογία τους \tfrac{x}{y} παρέχει μια στενή προσέγγιση της \scriptstyle\sqrt 2. Η ακολουθία προσεγγίσεων αυτού του τύπου είναι

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots


όπου ο παρονομαστής από κάθε κλάσμα είναι ένας αριθμός του Πελ και ο αριθμητής είναι το άθροισμα ενός αριθμού του Πελ και του προηγούμενου του στην ακολουθία. Έτσι, οι λύσεις έχουν τη μορφή \tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}. Η προσέγγιση

\sqrt 2\approx\frac{577}{408}


αυτού του τύπου ήταν γνωστή στους Ινδούς μαθηματικούς από τον τρίτο ή τέταρτο αιώνα π.Χ. [3] Οι Έλληνες μαθηματικοί του πέμπτου αιώνα π.Χ. ήξεραν επίσης γι' αυτήν την ακολουθία των προσεγγίσεων: [4] Ο Πλάτωνας αναφέρεται στους αριθμητές ως τις ορθολογικές διαμέτρους.[5] Τον 2ο αιώνα μ.Χ. ο Θέων της Σμύρνης χρησιμοποίησε τον όρο αριθμοί πλευράς και διαμέτρου για να περιγράψει τους παρονομαστές και τους αριθμητές αυτής της ακολουθίας.[6]
Οι προσεγγίσεις αυτές θα μπορούσαν να προέρχονται από το συνεχές κλάσμα εάν είχαν επεκταθεί κατά \scriptstyle\sqrt 2:

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.

Περικόπτοντας αυτή την επέκταση σε οποιονδήποτε αριθμό των όρων παράγει έναν από τους αριθμούς του Πελ βασισμένοι στις προσεγγίσεις των αριθμών αυτών. Για παράδειγμα,:\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.
Όπως ο Knuth (1994) περιγράφει, το γεγονός ότι οι αριθμοί του Πελ με προσέγγιση \scriptstyle\sqrt 2 τους επιτρέπει να χρησιμοποιούν για ακριβής ορθολογικές προσεγγίσεις σε ένα κανονικό οκτάγωνο με κορυφή τις συντεταγμένες (\pm P_i,\pm P_{i+1}) και (\pm P_{i+1},\pm P_i).Όλες οι κορυφές είναι εξίσου μακριά από την αρχή και αποτελούν σχεδόν ομοιόμορφες γωνίες γύρω από την αρχή. Εναλλακτικά, τα σημεία (\pm(P_i+P_{i-1}),0), (0,\pm(P_i+P_{i-1})) και (\pm P_i,\pm P_i) αποτελούν κατά προσέγγιση οκτάγωνα όπου οι κορυφές έχουν σχεδόν ίση απόσταση από την αρχή και τις γωνίες να είναι με ενιαία μορφή.

Πρώτοι αριθμοί και Τετράγωνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας Πελ Πρώτος Αριθμός είναι ένας αριθμός Πελ που είναι πρώτος αριθμός. Οι πρώτοι Πελ αριθμοί είναι :2, 5, 29, 5741, ... Πρότυπο:OEIS. Όπως και με τους αριθμούς Fibonacci, ένας αριθμός Πελ P_n δεν μπορεί παρά να είναι πρώτος αν n το ίδιο είναι πρώτο.

Οι αριθμοί Pell που είναι τετράγωνα, κύβοι, ή οποιαδήποτε ανώτερη δύναμη του ακεραίου είναι 0, 1, and 169 = 132.[7]

Ωστόσο, παρά το γεγονός ότι έχουμε τόσο λίγα τετράγωνα ή άλλες δυνάμεις,oi αριθμοί Πελ έχουν μια στενή σχέση με τους τετραγωνικούς τριγωνικούς αριθμούς. [8] Συγκεκριμένα, οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν από την ακόλουθη ταυτότητα των Πελ αριθμών.:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.

Η αριστερή πλευρά της ταυτότητας αυτής περιγράφει έναν τετραγωνικό αριθμό, ενώ η δεξιά πλευρά περιγράφει έναν τριγωνικό αριθμό, ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένας τετράγωνικος τριγωνικός αριθμός.

Οι Santana και Diaz-Barrero (2006) αποδεικνύουν μια άλλη ταυτότητα που αφορούν τους αριθμούς Πελ σε τετράγωνα και δείχνει ότι το άθροισμα των αριθμών Πελ μέχρι  P_ {4n +1} είναι πάντα ένα τετράγωνο:

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2.

Για παράδειγμα, το άθροισμα των αριθμών Pell μέχρι P_5, 0+1+2+5+12+29=49, είναι το τετράγωνο από P_2+P_3=2+5=7. Οι αριθμοί P_{2n}+P_{2n+1} σχηματίζουν τις τετραγωνικές ρίζες των εν λόγω ποσών,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... Πρότυπο:OEIS, είναι γνωστοί ως οι Newman-Shanks-Williams (NSW) αριθμοί.

Πυθαγόρειες Τριάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορθό τρίγωνο ακεραίων με σχεδόν ίσα σκέλη, που προέρχονται από τους αριθμούς Pell.

Εάν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει ακέραιες τιμές στα μήκη των πλευρών a, b, c (ικανοποιούν κατ 'ανάγκη το Πυθαγόρειο Θεώρημα a2+b2=c2), τότε οι (a,b,c) είναι γνωστό ως οι Πυθαγόρειες Τριάδες. Όπως ο Martin (1875) περιγράφει, οι αριθμοί Πελ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν Πυθαγόρειες τριάδες στις οποίες οι πλευρές a και b είναι μία μονάδα χώρια, που αντιστοιχεί προς τα δεξιά τρίγωνα που είναι σχεδόν ισοσκελές. Κάθε τέτοια τριάδα έχει τη μορφή

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).

Η ακολουθία των Πυθαγόρειων Τριάδων σχηματίζονται με τον τρόπο αυτό και είναι

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ....

Οι Αριθμοί Πελ-Λούκας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι συντροφικοί αριθμοί Πελ ή Πελ-Λούκας αριθμοί που ορίζονται από την αναδρομική σχέση

Q_n=\begin{cases}2&\mbox{if }n=0;\\2&\mbox{if }n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}

Με λίγα λόγια: οι δύο πρώτοι αριθμοί στην ακολουθία είναι αμφότεροι 2, και κάθε διαδοχικός αριθμός σχηματίζεται με προσθήκη δύο φορές το προηγούμενο Πελ-Λούκας αριθμό στον Πελ-Λούκας αριθμό πριν από αυτό, ή ισοδύναμα, προσθέτοντας τον επόμενο αριθμό Πελ στο προηγούμενο Πελ αριθμό: έτσι, το 82 είναι ο σύντροφος στο 29, και 82 = 2 * 34 + 14 = 70 + 12. Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι Πρότυπο:OEIS: 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478...

Οι σύντροφοι αριθμοί Πελ μπορούν να εκφραστούν από το κλειστό τύπο:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

Οι αριθμοί αυτοί είναι όλοι ακόμα. Κάθε τέτοιος αριθμός είναι δύο φορές ο αριθμητής σε μία από τις προσεγγίσεις για την ορθολογική \scriptstyle\sqrt2 που συζητήθηκε παραπάνω.

Υπολογισμοί και συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πρώτες αρμοδιότητες της ασημί αναλογίας \delta=\delta_S=1+\sqrt2 και του συζυγή του \bar{\delta}=1-\sqrt{2}.

 n (1+\sqrt{2})^n (1-\sqrt{2})^n
0 1+0\sqrt{2}=1.0 1-0\sqrt{2}=1.0
1 1+1\sqrt{2}=2.41421\ldots 1-1\sqrt{2}=-0.41421\ldots
2 3+2\sqrt{2}=5.82842\ldots 3-2\sqrt{2}=0.17157\ldots
3 7+5\sqrt{2}=14.07106\ldots 7-5\sqrt{2}=-0.07106\ldots
4 17+12\sqrt{2}=33.97056\ldots 17-12\sqrt{2}=0.02943\ldots
5 41+29\sqrt{2}=82.01219\ldots 41-29\sqrt{2}=-0.01219\ldots
6 99+70\sqrt{2}=197.9949\ldots 99-70\sqrt{2}=0.0050\ldots
7 239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots 239-169\sqrt{2}=-0.00209\ldots
8 577+408\sqrt{2}=1153.99913\ldots 577-408\sqrt{2}=0.00086\ldots
9 1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots 1393-985\sqrt{2}=-0.00035\ldots
10 3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots 3363-2378\sqrt{2}=0.00014\ldots
11 8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots 8119-5741\sqrt{2}=-0.00006\ldots
12 19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots 19601-13860\sqrt{2}=0.00002\ldots

Οι συντελεστές είναι οι Μισοί σύντροφοι αριθμοί Πελ H_n και οι αριθμοί Πελ P_n που είναι οι (μη αρνητικοί) λύσεις των H^2-2P^2=\pm1. Ένας Τετραγωνικός Τριγωνικός Αριθμός είναι ένας αριθμός N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2 ο οποίος είναι και ο t\, th τριγωνικός αριθμός και ο s\,th τετραγωνικός αριθμός. Μια κοντινή ισοσκελή Πυθαγόρεια τριάδα είναι μία ακέραια λύση a^2+b^2=c^2 όπου a+1=b.

Ο επόμενος πίνακας δείχνει ότι ο διαχωρισμός του περιττού αριθμού H_n σχεδόν σε ίσα μισά δίνει ένα τετράγωνο τριγωνικό αριθμό όταν το n είναι άρτιος και κοντά σε ισοσκελές Πυθαγόρεια Τριάδα όταν ο n είναι περιττός. Όλες οι λύσεις προκύπτουν με τον τρόπο αυτό.

 n  H_n  P_n t t+1 s a b c
0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
2 3 2 1 2 1
3 7 5 3 4 5
4 17 12 8 9 6
5 41 29 20 21 29
6 99 70 49 50 35
7 239 169 119 120 169
8 577 408 288 289 204
9 1393 985 696 697 985
10 3363 2378 1681 1682 1189
11 8119 5741 4059 4060 5741
12 19601 13860 9800 9801 6930

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι μισοί σύντροφοι αριθμοί Πελ H_n και οι αριθμοί Πελ P_n μπορούν να προκύψουν σε μια σειρά από εύκολους ισοδύναμους τρόπους:

Η αύξηση των δυνάμεων:


(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}
(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι υπάρχουν κλειστοί τύποι:


H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

και

P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

Ζεύγη Επανάληψης:

H_n=\begin{cases}1&\mbox{if }n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&\mbox{otherwise.}\end{cases}
P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&\mbox{otherwise.}\end{cases}

και πίνακες διατύπωσης

\begin{pmatrix} H_n \\ P_n  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n-1}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}.

έτσι

 \begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

Προσεγγίσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διαφορά μεταξύ H_n \, και P_n\sqrt2 είναι (1-\sqrt2)^n \approx (-0.41421)^n η οποία πηγαίνει γρήγορα στο μηδέν. Έτσι, (1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2 είναι πολύ κοντά 2H_n \, .

Απ' αυτήν την τελευταία παρατήρηση προκύπτει ότι οι αναλογίες ακεραίων \frac{H_n}{P_n} προσεγγίζουν ραγδαία το \sqrt2 \, καθώς οι \frac{H_n}{H_{n-1}}\, and \frac{P_n}{P_{n-1}}\, προσεγγίζουν ραγδαία το 1+\sqrt2 \, .


H2 − 2P2 = ±1[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου ότι η \sqrt2 είναι άρρητος, δεν μπορούμε να έχουμε \frac{H}{P}=2\, δηλαδή \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2}\, . Το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι είτε \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2}\, ή \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2} .

Οι (μη αρνητικές) λύσεις της H^2-2P^2=1 \, είναι ακριβώς τα ζεύγη H_n,P_n \mbox{ with} n\, άρτιος και οι λύσεις της H^2-2P^2=-1 \, είναι ακριβώς τα ζεύγη H_n,P_n \mbox{ with } n \, περιττό. Για να δείτε αυτό, σημειώστε πρώτα ότι

H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n)^2-2(H_n+P_n)^2=-(H_n^2-2P_n^2) \,

έτσι ώστε αυτές οι διαφορές, ξεκινώντας με την H_{0}^2-2P_{0}^2=1 \, είναι εναλλάξ 1 \mbox{ and }-1 \,. Στη συνέχεια, σημειώστε ότι κάθε θετική λύση έρχεται με αυτό τον τρόπο από μια λύση με μικρότερους ακεραίους από (2P-H)^2-2(H-P)^2=-(H^2-2P^2) \,. Η μικρότερη λύση έχει επίσης θετικούς ακεραίους, με εξαίρεση μία H=P=1 \, η οποία προέρχεται από H_0=1 \mbox{ and }P_0=0 \,.


Τετράγωνο τριγωνικών αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η απαιτούμενη εξίσωση \frac{t(t+1)}{2}=s^2\, είναι ισοδύναμο με 4t^2+4t+1=8s^2+1 \, η οποία γίνεται H^2=2P^2+1 με τις υποκαταστάσεις H=2t+1 \mbox{ and } P=2s . Εξ ου και η νιοστή λύση είναι t_n=\frac{H_{2n}-1}{2} και s_n=\frac{P_{2n}}{2}.

Παρατηρήστε ότι t και t+1 είναι πρώτα μεταξύ τους, έτσι ώστε \frac{t(t+1)}{2}=s^2\, συμβαίνει ακριβώς όταν είναι γειτονικά ακέραιοι, ένα τετράγωνο H^2 και η άλλη δύο φορές το τετράγωνο 2P^2. Επειδή γνωρίζουμε όλες τις λύσεις αυτής της εξίσωσης, έχουμε επίσης

t_n=\begin{cases}2P_n^2&\mbox{if }n\mbox{ is even};\\H_{n}^2&\mbox{if }n\mbox{ is odd.}\end{cases}

και s_n=H_nP_n\,

Αυτή η εναλλακτική έκφραση φαίνεται στον επόμενο πίνακα.

 n  H_n  P_n t t+1 s a b c
0 1 0
1 1 1 1 2 1 1 0 1
2 3 2 8 9 6 3 4 5
3 7 5 49 50 35 21 20 29
4 17 12 288 289 204 119 120 169
5 41 29 1681 1682 1189 697 696 985
6 99 70 9800 9801 6930 4059 4060 5741

Πυθαγόρειες τριάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ισότητα c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1 συμβαίνει ακριβώς όταν 2c^2=4a^2+4a+2 η οποία γίνεται 2P^2=H^2+1με τις υποκαταστάσεις H=2a+1 \mbox{ and } P=c . Εξ ου και η νιοστή λύση είναι a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2} and c_n={P_{2n+1}}. \,

Ο παραπάνω πίνακας δείχνει ότι, σε μια τάξη ή την άλλη, a_n\mbox{ and }b_n=a_n+1 είναι H_nH_{n+1}\mbox{ and }2P_nP_{n+1} καθώς c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. , Για παράδειγμα, ο Σέλερς (2002) απέδειξε ότι οι αριθμοί των τέλειων συνδυασμών στο Καρτεσιανό γινόμενο από ένα γράφημα μονοπάτι και ένα K4-e μπορεί να υπολογιστεί σαν το γινόμενο του αριθμού του Πελ με τον αντίστοιχο αριθμό του Φιμπονάτσι.
  2. Για τον τύπο μήτρας και τις συνέπειές της βλέπε Ερκολάνο (1979) και Κίλιτς και Τάσκι (2005). Οι πρόσθετες ταυτότητες για τους αριθμούς Πελ αναφέρονται από τον Horadam (1971) και τον Bicknell (1975).
  3. Όπως καταγράφεται στο Shulba Sutras; βλέπε π.χ. Dutka (1986),ο οποίος παραθέτει Thibaut (1875) για αυτήν την πληροφορία.
  4. Βλέπε Knorr (1976) για τον πέμπτο αιώνα, ο οποίος ταιριάζει τον ισχυρισμό του Πρόκλου ότι οι αριθμοί πλευράς και διαμέτρου ανακαλύφθηκαν από τους Πυθαγόρειους.Για πιο λεπτομερή εξερεύνηση της μεταγενέστερης ελληνικής γνώσης αυτών των αριθμών βλέπε Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), and Filep (1999).
  5. Για παράδειγμα, όπως πολλές από τις παραπομπές από το προηγούμενο σημείωμα παρατηρούν, στην Πολιτεία του Πλάτωνα υπάρχει μια αναφορά στην "ορθολογική διάμετρο του 5", με την οποία ο Πλάτων εννοεί 7, τον αριθμητή της προσέγγισης 7/5 της οποίας το 5 είναι ο παρονομαστής.
  6. Heath, Sir Thomas Little (1921), History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, Courier Dover Publications, σελ. 112, ISBN 9780486240732, http://books.google.co.uk/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112 .
  7. Pethő (1992); Cohn (1996). Αν και οι Fibonacci αριθμόι ορίζονται από μια πολύ παρόμοια επανάληψη με τους αριθμούς Pell, ο Cohn γράφει ότι ένα ανάλογο αποτέλεσμα για τους αριθμούς Fibonacci φαίνεται πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθεί. (Ωστόσο, αυτό αποδείχθηκε το 2006 από Bugeaud.)
  8. Sesskin (1962). Δείτε το τετραγωνικός τριγωνικός αριθμός άρθρο για ένα πιο λεπτομερή υπολογισμό