Συνοδός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο συνοδός πίνακας Φρομπένιους του μονικού πολυωνύμου

$p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$,

είναι ο τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως

$C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.$

Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν την ανταστροφή αυτού του πίνακα, $C(p)^{T}$, η οποία είναι πιο βολική για ορισμένους σκοπούς, όπως οι γραμμικές αναδρομικές σχέσεις (βλ. παρακάτω).

Το $C(p)$ ορίζεται από τους συντελεστές του $p(x)$, ενώ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο καθώς και το ελάχιστο πολυώνυμο του $C(p)$ είναι ίσα με το $p(x)$. Με αυτή την έννοια, ο πίνακας $C(p)$ και το πολυώνυμο $p(x)$ είναι «συνοδοί».

Ομοιότητα με τον συνοδό πίνακα

Κάθε πίνακας A με καταχωρήσεις σε ένα σώμα F έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο $p(x)=\det(xI-A)$, το οποίο με τη σειρά του έχει συνοδό πίνακα $C(p)$. Αυτοί οι πίνακες σχετίζονται ως εξής.

Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες:

• Ο A είναι παρόμοιος πάνω στο F με τον $C(p)$, δηλαδή ο A μπορεί να συζευχθεί με τον συνοδό του πίνακα από πίνακες στο GL_n'(F),
• το χαρακτηριστικό πολυώνυμο $p(x)$ συμπίπτει με το ελάχιστο πολυώνυμο του A , δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυμο έχει βαθμό n,
• η γραμμική απεικόνιση $A:F^{n}\to F^{n}$ κάνει το $F^{n}$ ένα κυκλικό $F[A]$-module, που έχει μια βάση της μορφής $\{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}$- ή ισοδύναμα $F^{n}\cong F[X]/(p(x))$ ως $F[A]$-modules.

Αν ισχύουν τα παραπάνω, λέμε ότι το Α είναι μη μειωτικό.

Δεν είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας όμοιος με έναν συνοδό πίνακα, αλλά κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι όμοιος με έναν σύνθετο πίνακα που αποτελείται από συνοδούς πίνακες. Αν απαιτήσουμε επίσης ότι το πολυώνυμο κάθε σύνθετου διαγώνιου διαιρεί το επόμενο, καθορίζονται μοναδικά από τον Α, και αυτό δίνει την ρητή κανονική μορφή του Α.

Διαγωνοποιησιμότητα

Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου $p(x)$ είναι οι ιδιοτιμές του $C(p)$. Αν υπάρχουν n διαφορετικές ιδιοτιμές $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, τότε το $C(p)$ είναι διαγωνοποιήσιμο ως $C(p)=V^{-1}\!DV$, όπου D είναι ο διαγώνιος πίνακας και V είναι ο πίνακας Βαντερμόντ που αντιστοιχεί στα λ's:

$D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n}\end{bmatrix}}.$

Πράγματι, ένας εύκολος υπολογισμός δείχνει ότι η αντιμετάθεση $C(p)^{T}$ έχει ιδιοδιανύσματα $v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})$ με $C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}$, το οποίο προκύπτει από το $p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0$. Έτσι, η διαγωνοποιητική αλλαγή του πίνακα βάσης του είναι $V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]$, που σημαίνει $C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}$, και παίρνοντας την αντιμετάθεση και των δύο πλευρών προκύπτει $C(p)=V^{-1}\!DV$.

Μπορούμε να διαβάσουμε τα ιδιοδιανύσματα του $C(p)$ με $C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}$ από την εξίσωση $C(p)=V^{-1}\!DV$: είναι τα διανύσματα στήλης του αντίστροφου πίνακα Βαντερμόντ $V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]$. Ο πίνακας αυτός είναι γνωστός με σαφήνεια, δίνοντας τα ιδιοδιανύσματα $w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})$, με συντεταγμένες ίσες με τους συντελεστές των πολυωνύμων Λαγκράνζ

$L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.$

Εναλλακτικά, τα κλιμακωτά ιδιοδιανύσματα ${\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}$ έχουν απλούστερους συντελεστές.

Εάν η $p(x)$ έχει πολλαπλές ρίζες, τότε η $C(p)$ δεν είναι διαγωνοποιήσιμη. Αντίθετα, η κανονική μορφή Ζορντάν του $C(p)$ περιέχει ένα σύνθετο διαγώνιο για κάθε ξεχωριστή ρίζα, ένα m × m σύνθετο με $\lambda$ στη διαγώνιο αν η ρίζα $\lambda$ έχει πολλαπλότητα m.

Γραμμικές αναδρομικές ακολουθίες

Μια γραμμική αναδρομική ακολουθία ορίζεται από τη σχέση $a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}$ για $k\geq 0$ έχει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο $p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$, του οποίου ο μεταθετικός συνοδευτικός πίνακας $C(p)^{T}$ παράγει την ακολουθία:

${\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.$

Το διάνυσμα $v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα αυτού του πίνακα, όπου η ιδιοτιμή $\lambda$ είναι μια ρίζα του $p(x)$. Θέτοντας τις αρχικές τιμές της ακολουθίας ίσες με αυτό το διάνυσμα προκύπτει μια γεωμετρική ακολουθία $a_{k}=\lambda ^{k}$ που ικανοποιεί την αναδρομή. Στην περίπτωση n διακριτών ιδιοτιμών, μια αυθαίρετη λύση $a_{k}$ μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γεωμετρικών λύσεων και οι ιδιοτιμές με τη μεγαλύτερη μιγαδική νόρμα δίνουν μια ασυμπτωτική προσέγγιση.

Από γραμμική ODE σε γραμμικό σύστημα ODE πρώτης τάξης

Ομοίως με την παραπάνω περίπτωση γραμμικών αναδρομών, ας θεωρήσουμε μια ομογενή γραμμική ODE τάξης n για την κλιμακωτή συνάρτηση $y=y(t)$:

$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.$

Αυτό μπορεί να περιγραφεί ισοδύναμα ως ένα συζευγμένο σύστημα ομογενών γραμμικών ODE τάξης 1 για τη διανυσματική συνάρτηση $z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))$:

$z'=C(p)^{T}z$

όπου $C(p)^{T}$ είναι ο μεταθετικός συνοδός πίνακας για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

$p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.$

Εδώ οι συντελεστές $c_{i}=c_{i}(t)$ μπορούν επίσης να είναι συναρτήσεις, όχι μόνο σταθερές.

Εάν το $C(p)^{T}$ είναι διαγωνοποιήσιμο, τότε μια διαγωνοποιητική αλλαγή της βάσης θα το μετατρέψει σε ένα αποσυνδεδεμένο σύστημα ισοδύναμο με μια κλιμακωτή ομογενή γραμμική ODE πρώτης τάξης σε κάθε συντεταγμένη.

Μια ανομοιογενής εξίσωση

$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)$

είναι ισοδύναμο με το σύστημα:

$z'=C(p)^{T}z+F(t)$

με τον όρο ανομοιογένειας $F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))$.

Και πάλι, μια διαγωνοποιητική αλλαγή της βάσης θα το μετατρέψει σε ένα αποσυνδεδεμένο σύστημα βαθμωτών ανομοιογενών γραμμικών ODE πρώτης τάξης.

Κυκλικός πίνακας μετατόπισης

Στην περίπτωση του $p(x)=x^{n}-1$, όταν οι ιδιοτιμές είναι οι μιγαδικές ρίζες της μονάδας, ο συνοδός πίνακας και η μεταφορά του ανάγονται στον κυκλικό πίνακα μετατόπισης του Συλβέστερ, έναν κυκλικό πίνακα.

Χάρτης πολλαπλασιασμού σε μια απλή επέκταση σώματος

Θεωρήστε ένα πολυώνυμο $p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$ με συντελεστές σε ένα σώμα $F$, και υποθέτουμε ότι το $p(x)$ είναι μη αναγώγιμο στον πολυωνυμικό δακτύλιο $F[x]$. Τότε η προσάρτηση μιας ρίζας $\lambda$ του $p(x)$ παράγει μια επέκταση σώματος $K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))$, η οποία είναι επίσης ένας διανυσματικός χώρος πάνω από τον $F$ με τυπική βάση $\{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}$. Τότε η απεικόνιση του $F$-γραμμικού πολλαπλασιασμού

$m_{\lambda }:K\to K$ που ορίζεται από $m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha$

έχει έναν πίνακα n × n $[m_{\lambda }]$ ως προς την τυπική βάση. Δεδομένου ότι $m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}$ και $m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}$, αυτός είναι ο συνοδός πίνακας του $p(x)$:

$[m_{\lambda }]=C(p).$

Υποθέτοντας ότι αυτή η επέκταση είναι διαχωρίσιμη ( παραδείγματος χάριν, αν το $F$ έχει χαρακτηριστικό μηδέν ή είναι πεπερασμένο σώμα), το $p(x)$ έχει διακριτές ρίζες $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ με $\lambda _{1}=\lambda$, έτσι ώστε

$p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),$

και έχει σώμα διαχωρισμού $L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$.

Τώρα το $m_{\lambda }$ δεν είναι διαγωνοποιήσιμο πάνω από το $F$- μάλλον, πρέπει να το επεκτείνουμε σε έναν $L$-γραμμικό χάρτη στο $L^{n}\cong L\otimes _{F}K$, έναν διανυσματικό χώρο πάνω από το $L$ με τυπική βάση $\{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}$, που περιέχουν διανύσματα $w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}$. Η εκτεταμένη απεικόνιση ορίζεται από τη σχέση $m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )$.

Ο πίνακας $[m_{\lambda }]=C(p)$ παραμένει αμετάβλητος, αλλά όπως παραπάνω, μπορεί να διαγωνοποιηθεί με πίνακες με καταχωρήσεις στο $L$:

$[m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,$

για τον διαγώνιο πίνακα $D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ και τον πίνακα Βαντερμόντ V που αντιστοιχεί στον $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L$. Ο ρητός τύπος για τα ιδιοδιανύσματα (τα κλιμακωτά διανύσματα στήλης του αντίστροφου πίνακα Βαντερμόντ $V^{-1}$) μπορεί να γραφεί ως εξής:

${\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)$

όπου $\beta _{ij}\in L$ είναι οι συντελεστές του κλιμακωτού πολυωνύμου Λαγκράνζ

${\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Σύνθετος πίνακας
• Τριγωνικός πίνακας
• Ερμιτιανός πίνακας
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας
• Θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον.
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• SComputational Discovery on Jupyter
• An Introduction to Computational Physics
• Fast Algorithms for Structured Matrices: Theory and Applications : AMS-IMS ...
• Linear Algebra and Matrix Computations with MATLAB®
• Matrix Analysis for Scientists and Engineers

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Zeni, J. R.; Rodrigues, W.A. (1992). «A thoughful study of Lorentz transformations by Clifford algebras». Int. J. Mod. Phys. A (World Scientific) 7 (8): 1793 pp. doi:10.1142/S0217751X92000776. Bibcode: 1992IJMPA...7.1793Z. http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217751X92000776. 
• Zhang, F. (1997). «Quaternions and matrices of quaternions». Linear Algebra and its Applications (Elsevier) 251: 21–57. doi:10.1016/0024-3795(95)00543-9. ISSN 0024-3795. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379595005439none 
• Zhang, F. (1997). «Quaternions and matrices of quaternions». Linear Algebra and its Applications (Elsevier) 251: 21–57. doi:10.1016/0024-3795(95)00543-9. ISSN 0024-3795. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379595005439none  (open archive).

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).