Κριτήρια σύγκλισης

 

Στα μαθηματικά, τα κριτήρια σύγκλισης είναι μέθοδοι για να ελέγξουμε τη σύγκλιση, τη σύγκλιση υπό συνθήκη, την απόλυτη σύγκλιση, το διάστημα σύγκλισης ή την απόκλιση μιας άπειρης σειράς $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Κατάλογος κριτηρίων

Όριο αθροίσματος

Αν το όριο του αθροίσματος είναι απροσδιόριστο ή μη μηδενικό, δηλαδή $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, τότε η σειρά αποκλίνει. Με αυτή την έννοια, τα επιμέρους αθροίσματα είναι Κωσύ αν και μόνο αν υπάρχει αυτό το όριο και είναι ίσο με μηδέν. Το τεστ είναι ασαφές εάν το όριο του αθροίσματος είναι μηδέν.

Κριτήριο λόγου

Αυτό είναι επίσης γνωστό ως κριτήριο του Ντ'Αλαμπέρ.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει $r$ τέτοιο ώστε

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Αν r < 1, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν r > 1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν r = 1, το κριτήριο λόγου δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

Κριτήριο ρίζας

Αυτό είναι επίσης γνωστό ως κριτήριο του Κωσύ.

Έστω

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

όπου $\limsup$ δηλώνει το όριο του ελάχιστου άνω φράγματος (μπορεί να είναι και $\infty$. Αν υπάρχει το όριο, είναι η ίδια τιμή).

Αν r < 1, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν r > 1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν r = 1, το κριτήριο ρίζας δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

Το κριτήριο ρίζας είναι ισχυρότερο από το κριτήριο λόγου: όταν το κριτήριο λόγου καθορίζει τη σύγκλιση ή την απόκλιση μιας άπειρης σειράς, το κριτήριο ρίζας το κάνει επίσης, αλλά όχι το αντίστροφο.

Κριτήριο ολοκληρώματος

Η σειρά μπορεί να συγκριθεί με ένα ολοκλήρωμα για να καθορίσουμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Έστω $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ μια μη-αρνητική και μονότονα φθίνουσα συνάρτηση τέτοια ώστε $f(n)=a_{n}$. Αν

$$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$

τότε η σειρά συγκλίνει. Αλλά αν το ολοκλήρωμα αποκλίνει, τότε και η σειρά αποκλίνει. Με άλλα λόγια, η σειρά ${a_{n}}$ συγκλίνει αν και μόνο αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Κριτήριο σύγκρισης σειρών

Αν η σειρά $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ συγκλίνει απολύτως και $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ για αρκετά μεγάλο n, τότε η σειρά $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ συγκλίνει απολύτως.

Κριτήριο οριακής σύγκρισης

Αν $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$, (δηλαδή κάθε στοιχείο των δύο ακολουθιών είναι θετικό) και το όριο $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ υπάρχει, είναι πεπερασμένο και μη-μηδενικό, τότε είτε συγκλίνουν και οι δύο σειρές είτε αποκλίνουν.

Κριτήριο συμπύκνωσης του Κωσύ

Έστω $\left\{a_{n}\right\}$ μια μη-αρνητική και φθίνουσα ακολουθία. Τότε, η σειρά $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ συγκλίνει. Επιπλέον, αν οι δύο αυτές σειρές συγκλίνουν, τότε ισχύει ότι $A\leq A^{*}\leq 2A$.

Κριτήριο του Άμπελ

Έστω ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:

1. Η $\sum a_{n}$ είναι μια συγκλίνουσα σειρά,
2. Η $\left\{b_{n}\right\}$ είναι μια μονότονη ακολουθία και
3. Η $\left\{b_{n}\right\}$ είναι φραγμένη.

Τότε, η σειρά $\sum a_{n}b_{n}$ είναι επίσης συγκλίνουσα.

Κριτήριο απόλυτης σύγκλισης

Κάθε σειρά που συγκλίνει απολύτως, συγκλίνει και απλά.

Κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς

Έστω ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:

• Τα $a_{n}$ είναι όλα θετικά,
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ και
• για κάθε n, $a_{n+1}\leq a_{n}$ (δηλαδή είναι φθίνουσα).

Τότε, οι σειρές $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ και $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ συγκλίνουν. Αυτό το κριτήριο είναι επίσης γνωστό ως κριτήριο του Λάιμπνιτς.

Κριτήριο του Ντίριχλετ

Αν $\{a_{n}\}$ είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών και $\{b_{n}\}$ μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τα ακόλουθα:

• $a_{n}\geq a_{n+1}$,

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ και

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ για κάθε θετικό ακέραιο N,

όπου το M είναι κάποια σταθερά, τότε η σειρά

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

συγκλίνει.

Κριτήριο σύγκλισης Κωσύ

Μια σειρά $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

για κάθε n > N και p ≥ 1.

Θεώρημα Stolz–Cesàro

Έστω $(a_{n})_{n\geq 1}$ και $(b_{n})_{n\geq 1}$ δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Υποθέτουμε ότι $(b_{n})_{n\geq 1}$ είναι μια γνησίως μονότονη και αποκλίνουσα ακολουθία και ότι υπάρχει το ακόλουθο όριο:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Τότε, το όριο

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Κριτήριο του Βάιερστρας

Ας υποθέσουμε ότι η (f_n) είναι μια ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σύνολο A και ότι υπάρχει μια ακολουθία μη-αρνητικών αριθμών (M_n) που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ για κάθε $n\geq 1$ και $x\in A$, και
• Η σειρά $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ συγκλίνει.

Τότε, η σειρά

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

συγκλίνει απολύτως και ομοιόμορφα στο Α.

Επεκτάσεις στο κριτήριο λόγου

Το κριτήριο λόγου μπορεί να είναι ασαφές όταν το όριο του λόγου είναι 1. Ωστόσο, οι επεκτάσεις στο κριτήριο λόγου μάς επιτρέπουν μερικές φορές να αντιμετωπίσουμε αυτή την περίπτωση.

Κριτήριο του Raabe–Duhamel

Έστω {a_n} μια ακολουθία θετικών αριθμών.

Ορίζουμε

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

Αν

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

υπάρχουν τρεις πιθανότητες:

• αν L > 1, η σειρά συγκλίνει (αυτό περιλαμβάνει την περίπτωση L = ∞)
• αν L < 1, η σειρά αποκλίνει
• αν L = 1, το κριτήριο δεν εφαρμόζεται.

Κριτήριο του Γκάους

Έστω {a_n} μια ακολουθία θετικών αριθμών. Αν ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$ για κάποιο β > 1, τότε η σειρά $\sum a_{n}$ συγκλίνει αν α > 1 και αποκλίνει αν α ≤ 1.

Κριτήριο του Κούμερ

Έστω {a_n} μια ακολουθία θετικών αριθμών. Τότε:

(1) Η σειρά $\sum a_{n}$ συγκλίνει αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία $b_{n}$ θετικών αριθμών τέτοια ώστε $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$, με c > 0.

(2) Η σειρά $\sum a_{n}$ αποκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\sum 1/b_{n}$ αποκλίνει και υπάρχει ακολουθία $b_{n}$ θετικών αριθμών τέτοια ώστε $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$.

Παράδειγμα

Έστω η σειρά

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

(i)

Το κριτήριο συμπύκνωσης του Κωσύ υποδηλώνει ότι η (i) είναι συγκλίνουσα, αν η σειρά

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

(ii)

είναι συγκλίνουσα. Αφού

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

η (ii) είναι μια γεωμετρική σειρά με λόγο $2^{(1-\alpha )}$. Η (ii) είναι συγκλίνουσα αν ο λόγος της είναι μικρότερος από ένα (δηλαδή αν $\alpha >1$). Έτσι, η (i) είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν $\alpha >1$.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd έκδοση). New York: Harper & Row. σελίδες 655–737. ISBN 0-06-043959-9.