Πενταγωνικός αριθμός

Στα μαθηματικά, πενταγωνικός αριθμός είναι ένας ακέραιος αριθμός που επεκτείνει την έννοια των τριγωνικών και των τετραγωνικών αριθμών στα κανονικά πεντάγωνα, αλλά, σε αντίθεση με τους δύο πρώτους, τα μοτίβα που εμπλέκονται στην κατασκευή των πενταγωνικών αριθμών δεν είναι περιστροφικά συμμετρικά. Ο n-οστός πενταγωνικός αριθμός p_n είναι ο αριθμός των διακριτών κουκκίδων σε ένα μοτίβο που αποτελείται από τα περιγράμματα κανονικών πενταγώνων με μήκος πλευρών από 1 έως n κουκκίδες, όταν τα πεντάγωνα επικαλύπτονται έτσι ώστε να έχουν μία κοινή κορυφή.

Για παράδειγμα, ο τρίτος πενταγωνικός αριθμός σχηματίζεται από τα περιγράμματα που περιέχουν 1, 5 και 10 κουκκίδες, αλλά η πρώτη και οι 3 από τις 5 συμπίπτουν με 3 από τις 10 – αφήνοντας 12 διακριτές κουκκίδες, 10 σε μορφή πενταγώνου και 2 μέσα στο πεντάγωνο.

Ο $n$ -οστός πενταγωνικός αριθμός $p_{n}$ δίνεται από τον τύπο

p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}

για κάθε $n\geq 1$ . Οι πρώτοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι οι εξής:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (ακολουθία A000326 στην OEIS).

Ιδιότητες

Αν $p_{n}$ ο $n$ -οστός πενταγωνικός αριθμός. Τότε ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:^[1]^[2]

Είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το $n$ έως το $2n-1$ , δηλαδή

p_{n}=\sum _{i=n}^{2n-1}i

.

Απόδειξη

Το παραπάνω άθροισμα είναι το άθροισμα μίας αριθμητικής προόδου $(\alpha _{k})_{k=1}^{\infty }$ με αρχικό όρο το $\alpha _{1}=n$ και διαφορά $\omega =1$ . Επομένως το άθροισμα των $n$ όρων της είναι δίνεται από την σχέση

{\frac {n}{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{n})={\frac {n}{2}}\cdot (n+2n-1)={\frac {3n^{2}-n}{2}}

.

Ικανοποιούν την εξής αναδρομική σχέση πρώτης τάξης

p_{n}=p_{n-1}+3n-2

, για κάθε

n\geq 2

.

Απόδειξη

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος

{\begin{aligned}&p_{n-1}+3n-2\\&\quad ={\frac {3(n-1)^{2}-(n-1)}{2}}+3n-2\\&\quad ={\frac {3(n^{2}-2n+1)-(n-1)}{2}}+3n-2\\&\quad ={\frac {3n^{2}-6n+3-2n+1+6n-2}{2}}\\&\quad ={\frac {3n^{2}-n}{2}}\\&\quad =p_{n}.\end{aligned}}

ικανοποιούν την εξής αναδρομική σχέση δεύτερης τάξης

p_{n}=2p_{n-1}-p_{n-2}+3

, για κάθε

n\geq 3

.

Απόδειξη

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος

{\begin{aligned}&2p_{n-1}-p_{n-2}+3\\&\quad ={\frac {6(n-1)^{2}-2(n-1)}{2}}-{\frac {3(n-2)^{2}-(n-2)}{2}}+3\\&\quad ={\frac {6n^{2}-14n+8}{2}}-{\frac {3n^{2}-13n+10}{2}}+3\\&\quad ={\frac {3n^{2}-n-6}{2}}+3\\&\quad ={\frac {3n^{2}-n}{2}}\\&\quad =p_{n}.\end{aligned}}

Ικανοποιούν την σχέση

p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}

Είναι το άθροισμα των πρώτων $n$ φυσικών αριθμών που έχουν υπόλοιπο 1 στην διαίρεσή τους με το 3., δηλαδή

p_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}(3i+1)

.

Απόδειξη

Το άθροισμα είναι το άθροισμα των όρων μίας αριθμητικής προόδου $(\alpha _{k})_{k=1}^{\infty }$ με πρώτο όρο $\alpha _{1}=1$ και $\omega =3$ . Επομένως το άθροισμα των $n$ πρώτων όρων είναι

p_{n}={\frac {1}{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{n})={\frac {n}{2}}\cdot (1+3n-2)={\frac {3n^{2}-n}{2}}

.

Η γεννήτρια συνάρτηση των πενταγωνικών αριθμών είναι η εξής:

G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}x^{n}={\frac {x(1+2x)}{(1-x)^{3}}}

.

Έλεγχος για πενταγωνικούς αριθμούς

Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος $x$ είναι πενταγωνικός αριθμός, μπορούμε να υπολογίσουμε την εξής παράσταση:

n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.

Ο αριθμός $x$ είναι πενταγωνικός αν και μόνο αν το $n$ είναι φυσικός αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση, το $x$ είναι ο $n$ -οστός πενταγωνικός αριθμός.

Για γενικευμένους πενταγωνικούς αριθμούς, αρκεί απλώς να ελέγξουμε αν ο αριθμός $24x+1$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Για μη γενικευμένους πενταγωνικούς αριθμούς, εκτός από τον παραπάνω έλεγχο, απαιτείται επίσης να ελέγξουμε αν:

{\sqrt {24x+1}}\equiv 5{\pmod {6}}

Οι μαθηματικές ιδιότητες των πενταγωνικών αριθμών διασφαλίζουν ότι αυτά τα τεστ είναι επαρκή για την απόδειξη ή την απόρριψη ενός αριθμού αν είναι πενταγωνικός.^[3]

Σχέση με άλλους αριθμούς

Τριγωνικοί αριθμοί

Οι πενταγωνικοί αριθμοί σχετίζονται στενά με τους τριγωνικούς αριθμούς. Αν $T_{n}$ είναι ο $n$ -οστός τριγωνικός αριθμός, τότε

{\begin{aligned}p_{n}&={\tfrac {1}{3}}T_{3n-1}\\&=T_{n-1}+n^{2}\\&=T_{n}+2T_{n-1}\\&=T_{2n-1}-T_{n-1}.\end{aligned}}

Τετραγωνικοί πενταγωνικοί αριθμοί

Ένας τετραγωνικός πενταγωνικός αριθμός είναι ένας πενταγωνικός αριθμός που είναι επίσης τέλειο τετράγωνο.^[4]

Οι πρώτοι απ' αυτούς είναι οι εξής:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (ακολουθία A036353 στην OEIS)

Γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί

Οι γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί λαμβάνονται από τον τύπο που δίνεται παραπάνω, αλλά με το n να παίρνει τιμές με την εξής σειρά: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4... Έτσι, παίρνουμε την εξής ακολουθία:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (ακολουθία A001318 στην OEIS).

Οι γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι σημαντικοί για τη θεωρία των διαμερίσεων του Όιλερ, όπως εκφράζεται στο θεώρημά του για τους πενταγωνικούς αριθμούς.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Euler, Leonhard (1783). «On the remarkable properties of the pentagonal numbers». Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 4 (1): 56-75. https://arxiv.org/pdf/math/0505373.
↑ Moorhouse, Eric (2016). «Pentagonal numbers» (PDF). University of Wyoming.
↑ How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?
↑ Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[1] Euler, Leonhard (1783). «On the remarkable properties of the pentagonal numbers». Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 4 (1): 56-75. https://arxiv.org/pdf/math/0505373.

[2] Moorhouse, Eric (2016). «Pentagonal numbers» (PDF). University of Wyoming.

[test-generalized-pentagonal-nos-3] How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?

[4] Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[1]

[2]

[3]

[4]