Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του \,x η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου \,1/\ln x.

Θεώρημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών \,\pi(x) που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του x, x\in\R_+:

\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.

Ισχύει:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},

που σημαίνει ότι η \,\pi(x) και η \frac{x}{\ln x} έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{{x}/{\ln x}}=1.

Ακριβέστερη προσέγγιση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)

Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):

Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},

που μπορεί να γραφεί και ως:

Li(x)=\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2x}{(\ln x)^3}+\cdots.

Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει \,\pi(x)\sim Li(x). Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}}),

όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος από αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση

\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\ln x),

που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.

Αριθμητικά παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πίνακας δίνει τον αριθμό των πρώτων μέχρι το x σε σύγκριση με τις προαναφερθήσες προσεγγίσεις.
x π(x) π(x) / x x / ln(x) π(x)·ln(x) / x Li(x)
10 4 0,400000 4 0,921034 6
102 25 0,250000 22 1,151292 30
103 168 0,168000 145 1,160503 178
104 1.229 0,122900 1.086 1,131951 1.246
105 9.592 0,095920 8.686 1,104320 9.630
106 78.498 0,078498 72.382 1,084490 78.628
107 664.579 0,066458 620.421 1,071175 664.918
108 5.761.455 0,057615 5.428.681 1,061299 5.762.209
109 50.847.534 0,050848 48.254.942 1,053727 50.849.235
1010 455.052.511 0,045505 434.294.482 1,047797 455.055.615
1011 4.118.054.813 0,041181 3.948.131.654 1,043039 4.118.066.401
1012 37.607.912.018 0,037608 36.191.206.825 1,039145 37.607.950.281
1013 346.065.536.839 0,034607 334.072.678.387 1,035899 346.065.645.810
1014 3.204.941.750.802 0,032049 3.102.103.442.166 1,033151 3.204.942.065.692
1015 29.844.570.422.669 0,029845 28.952.965.460.217 1,030795 29.844.571.475.288
1016 279.238.341.033.925 0,027924 271.434.051.189.532 1,028752 279.238.344.248.557
1017 2.623.557.157.654.233 0,026236 2.554.673.422.960.305 1,026964 2.623.557.165.610.822
1018 24.739.954.287.740.860 0,024740 24.127.471.216.847.324 1,025385 24.739.954.309.690.415
1019 234.057.667.276.344.607 0,023406 228.576.043.106.974.646 1,023982 234.057.667.376.222.382
1020 2.220.819.602.560.918.840 0,022208 2.171.472.409.516.259.138 1,022725 2.220.819.602.783.663.484
1021 21.127.269.486.018.731.928 0,021127 20.680.689.614.440.563.222 1,021594 21.127.269.486.616.126.182
1022 201.467.286.689.315.906.290 0,020147 197.406.582.683.296.285.296 1,020570 201.467.286.691.248.261.498
1023 1.925.320.391.606.803.968.923 0,019253 1.888.236.877.840.225.337.614 1,019639 1.925.320.391.614.054.155.139

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]