Επιφάνεια Riemann

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Επιφάνεια Riemann για την συνάρτηση ƒ(z) = √z. Οι δύο οριζόντιοι άξονες αντιπροσωπεύουν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του z, ενώ ο κάθετος άξονας αντιπροσωπεύει το πραγματικό μέρος √z. Για το φανταστικό μέρος √z, περιστρέφει την πλοκή 180° γύρω από τον κάθετο άξονα.

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη μιγαδική ανάλυση, η επιφάνεια Riemann που πήρε το όνομά της από τον Μπέρναρντ Ρίμαν ο οποίος ήταν και ο πρώτος που τη μελέτησε, είναι ένας μονοδιάστατος μιγαδικός τοπολογικός χώρος. Οι επιφάνειες Riemann μπορούν να θεωρηθούν ως "παραμορφωμένες εκδόσεις" του μιγαδικού επίπεδου τοπικά κοντά σε κάθε σημείο που μοιάζουν με μπαλώματα του μιγαδικού επιπέδου, ​​αλλά γενικά η τοπολογία τους μπορεί να είναι αρκετά διαφορετική. Παραδείγματος χάριν, μπορούν να μοιάσουν με μια σφαίρα ή με ένα τόρο ή με φύλλα που κολλιούνται από κοινού.

Το κύριο σημείο των επιφανειών Riemann είναι ότι οι ολομορφικές συναρτήσεις μπορούν να καθοριστούν μεταξύ τους. Οι επιφάνειες Riemann εξετάζονται σήμερα ως φυσική ρύθμιση για τη μελέτη της σφαιρικής συμπεριφοράς αυτών των λειτουργιών, ειδικά σύνθετες συναρτήσεις όπως η τετραγωνική ρίζα και άλλες αλγεβρικές συναρτήσεις, ή ο λογάριθμος.

Κάθε επιφάνεια Riemann είναι ένας δισδιάστατος πραγματικός αναλυτικός τοπολογικός χώρος (δηλ., μια επιφάνεια), αλλά περιέχει περισσότερη δομή (συγκεκριμένα μια μιγαδική δομή) που απαιτείται για το σαφή καθορισμό των ολομορφικών συναρτήσεων. Ένας δισδιάστατος πραγματικός τοπολογικός χώρος μπορεί να μετατραπεί σε επιφάνεια Riemann εάν και μόνο εάν είναι προσανατολίσιμος και μετρήσιμος. Έτσι στη σφαίρα και στο δακτύλιο μπορούν να γίνουν αποδεκτές μιγαδικές δομές, κάτι που δεν είναι εφικτό στη λουρίδα Möbius, στο μπουκάλι Klein και στο προβολικό επίπεδο.

Τα γεωμετρικά δεδομένα για τις επιφάνειες Riemann είναι «όμορφα», και παρέχουν συχνά τη διαίσθηση και το κίνητρο για τις γενικεύσεις σε άλλες καμπύλες, πολλαπλές ή ποικιλίες. Το θεώρημα Riemann-Roch είναι ένα πρωταρχικό παράδειγμα αυτής της επιρροής.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί μιας επιφάνειας Riemann.

  1. Μια επιφάνεια Χ Riemann είναι ένας μιγαδικός τοπολογικός χώρος της μιγαδικής διάστασης ένα. Αυτό σημαίνει ότι το Χ είναι ένα τοπολογικό διάστημα Hausdorff που συνοδεύεται με έναν άτλαντα: για κάθε σημείο Χ ∈ Χ υπάρχει μια γειτονιά που περιέχει το Χ ομοιομορφικό στο δίσκο μονάδων του μιγαδικού επιπέδου. Ο χάρτης που φέρνει τη δομή του μιγαδικού επιπέδου στην επιφάνεια Riemann καλείται διάγραμμα. Επιπλέον, οι χάρτες μετάβασης μεταξύ δύο επικαλύπτομενων διαγραμμάτων πρέπει για να είναι ολομορφικοί.
  2. Μια επιφάνεια Riemann είναι ένας προσανατολισμένός τοπολογικός χώρος (της πραγματικής) διάστασης δύο – μια διπλής όψης επιφάνεια – μαζί με μια σύμμορφη δομή. Πάλι, τοπολογικός χώρος σημαίνει τοπικά σε οποιοδήποτε σημείο χ του Χ, το διάστημα είναι πραγματικό επίπεδο. Το συμπλήρωμα «Riemann» δηλώνει ότι το Χ συνοδεύεται με μια πρόσθετη δομή που επιτρέπει το μέτρημα γωνίας στόν τοπολογικό χώρο, δηλαδή μια κατηγορία ισοδυναμίας αποκαλούμενων μετρικών Riemannian. Δύο τέτοιες μετρικές θεωρούνται ισοδύναμες εάν οι γωνίες που μετρούν είναι οι ίδιες. Η επιλογή μιας κατηγορίας ισοδυναμίας μετρικών στο Χ είναι το πρόσθετο στοιχείο της σύμμορφης δομής

Μια μιγαδική δομή δίνει αφορμή για μια σύμμορφη δομή με την επιλογή τυποποιημένης Ευκλείδειας μετρικης που δίνεται στο μιγαδικό επίπεδο και τη μεταφορά του στο Χ με τη βοήθεια των διαγραμμάτων. Να δείξει ότι μια σύμμορφη δομή καθορίζει μια μιγαδική δομή είναι δυσκολότερο. [1]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

The Riemann sphere.
  • Το μιγαδικό επίπεδο C είναι η πιό βασική επιφάνεια Riemann. Ο χάρτης f(z) = z (ο ταυτοτηκός χάρτης) καθορίζει ένα διάγραμμα για το C, και {f} είναι ένας άτλαντας για το C. Το mapg(z) = z* (ο συζευγμένος χάρτης) επίσης καθορίζει ένα διάγραμμα στο C και {g} είναι ένας άτλαντας για το Γ. Τα διαγράμματα f και g δεν είναι συμβατά, έτσι αυτό χρηματοδοτεί το Cμε δύο ευδιάκριτες δομές επιφάνειας Riemann. Στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη μια επιφάνεια Χ Riemann και τον άτλαντά του Α, ο συζευγμένος άτλαντας Β = {f*: το f ∈ Α} δεν είναι ποτέ συμβατό με το a, και συνοδεύει το Χ με μια ευδιάκριτη, ασυμβίβαστη δομή Riemann.
  • Παρόμοια , κάθε ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να αντιμετωπισθεί ως επιφάνεια Riemann με έναν φυσικό τρόπο. Γενικότερα, κάθε ανοικτό υποσύνολο μιας επιφάνειας Riemann είναι μια επιφάνεια Rieman
  • Αφήστε S = C ∪ {∞} και αφήστε το f(z) = z όπου το z είναι στο S \ {∞} και g(z) = 1/z όπου το z είναι στο S \ {0} και 1/∞ καθορίζεται για να είναι 0. Κατόπιν το f και τα g είναι διαγράμματα, είναι συμβατά, και {f, g} είναι ένας άτλαντας για το S, που κάνει το S σε μια επιφάνεια Riemann. Αυτή η ιδιαίτερη επιφάνεια καλείται σφαίρα Riemann επειδή μπορεί να ερμηνευθεί όπως τυλίγοντας το μιγαδικό επίπεδο γύρω από τη σφαίρα.
  • Η θεωρία των συμπαγών επιφανειών Riemann μπορεί να αποδειχθεί για να είναι ισοδύναμη με αυτήν των προβολικών αλγεβρικών καμπυλών που καθορίζονται πέρα από τους μιγαδικούς αριθμούς. Παραδείγματος χάριν, το δακτύλιο g(Ζ + τ Ζ), όπου τ είναι ένας μιγαδικός μη-πραγματικός αριθμός, αντιστοιχεί, μέσω της ελλειπτικής λειτουργίας Weierstrass που συνδέεται στο δικτυωτό πλέγμα Ζ + τ Ζ, σε μια ελλειπτική καμπύλη που δίνεται από μια εξίσωση
y2 = x3 + a x + b.
Οι Tori είναι οι μόνες επιφάνειες Riemann του γένους ένα, οι επιφάνειες των υψηλότερων γενών γ παρέχονται από τις υπερελληπτικές επιφάνειες
y2 = P(x),
όπου το P είναι ένα σύνθετο πολυώνυμο του βαθμού 2g + 1.
  • Τα σημαντικά παραδείγματα των μη συμπαγών επιφανειών Riemann παρέχονται από την αναλυτική συνέχεια.

Περαιτέρω ορισμοί και ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως με οποιοδήποτε χάρτη μεταξύ των μιγαδικων τοπολογικών υποχώρων, μια συνάρτηση f: Το ΜΝ μεταξύ δύο επιφανειών Riemann Μ και Ν καλείται ολομορφική εάν για κάθε διάγραμμα g στον άτλαντα του Μ και κάθε charth στον άτλαντα του Ν, ο χάρτης h o f o g−1 είναι ολομορφικός (ως λειτουργία από το C στο C) οπουδήποτε καθορίζεται. Η σύνθεση δύο ολομορφικών χαρτών είναι ολομορφική. Οι δύο επιφάνειες Μ και Ν Riemann καλούνται βιχολομορφικές εάν υπάρχει μια 1-1 ολομορφική συνάρτηση από το Μ στο Ν του οποίου αντίστροφο είναι επίσης ολομορφικό (βγάζει ότι ο τελευταίος όρος είναι αυτόματος και μπορεί επομένως να παραλειφθεί)

Δυνατότητα Προσανατολισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσαμε στον πρόλογο ότι όλες οι επιφάνειες Riemann, όπως όλους τους μιγαδικούς τοπολογικούς χώρους, μπορεί να προσανατοληστέι ως πραγματικός τοπολογικός χώρος. Ο λόγος είναι αυτός για τα μιγαδικά διαγράμματα f και g με τη συνάρτηση μετάβασης h = f(g−1(z)) μπορούμε να εξετάσουμε το χ ως χάρτη από ένα ανοικτό σύνολο R2 to R2 του οποίου ο Πίνακας Jacobi σε ένα σημείο z είναι ακριβώς ο πραγματικός γραμμικός χάρτης που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό από το μιγαδικό αριθμό h'(z). Εντούτοις, ο πραγματικός καθοριστικός παράγοντας του πολλαπλασιασμού από έναν μιγαδικό αριθμό α είναι ίσος με α equals |α|2, έτσι ο Πίνακας Jacobi του χ έχει θετική ορίζουσα. Συνεπώς ο σύνθετος άτλαντας είναι ένας προσανατολισμένος άτλαντας.

Συναρτήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε μη συνεχής επιφάνεια Riemann αναγνωρίζει τις μη-σταθερές ολομορφικές συναρτήσεις (με τις τιμές στο C). Στην πραγματικότητα, κάθε μη συνεχής επιφάνεια Riemann είναι ένας τοπολογικός χώρος Stein. Αντίθετα, σε μια συμπαγή επιφάνεια Χ Riemann κάθε ολομορφική συνάρτηση με τιμές στο C είναι σταθερή λογο του ολικού μεγίστου. Εντούτοις, πάντα υπάρχουν οι μη συνεχής μερομορφικές συναρτήσεις (ολομορφικές συναρτήσεις με τις τιμές στη σφαίρα C ∪ Riemann {∞}). Ακριβέστερα, ο μερομορφικός χώρος (ομάδα μερομορφικών συναρτήσεων) του Χ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του C(τ), ο μερομορφικός χώρος σε μια μεταβλητή, δηλ. οποιες δήποτε δύο μερομορφικές συναρτήσεις είναι αλγεβρικά εξαρτώμενες. Αυτή η δήλωση γενικεύει στις υψηλότερες διαστάσεις, Siegel (1955).

Αναλυτικός εναντίον αλγεβρικού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ανωτέρω γεγονός για την ύπαρξη των μη συνεχών μερομορφικών συναρτήσεων μπορούν να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι οποιαδήποτε συμπαγής επιφάνεια Riemann είναι μια προβολική ποικιλία, δηλ. μπορεί να δοθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις μέσα σε ένα προβολικό διάστημα. Πραγματικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε συμπαγής επιφάνεια Riemann μπορεί να ενσωματωθεί στο μιγαδικό προβολικό χώρο. Αυτό είναι ένα εκπληκτικό θεώρημα: Οι επιφάνειες Riemann δίνονται με τοπικά να επιδιορθώσουν τα διαγράμματα. Εάν ένας σφαιρικός όρος, δηλαδή πυκνότητα, προστίθεται, η επιφάνεια είναι απαραιτήτως αλγεβρική. Αυτό το χαρακτηριστικό γνώρισμα των επιφανειών Riemann επιτρέπει να τους μελετήσει με είτε τα μέσα της αναλυτικής είτε αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αντίστοιχη δήλωση για τα υψηλότερων διαστασεων αντικείμενα είναι ψεύτικη, δηλ. υπάρχουν συμπαγείς μιγαδικοί τοπολογικοί χώροι που δεν είναι αλγεβρικοί. Αφ' ετέρου, κάθε προβολική σύνθετη πολλαπλή είναι απαραιτήτως αλγεβρική.

Για παράδειγμα, εξετάστε το δακτύλιο T := C/(Z + τ Z). Η συνάρτηση Weierstrass \wp_\tau(z) είναι μια μερομορφική συνάρτηση στο T Αυτή η συνάρτηση και η παράγωγός της \wp^'_\tau(z) παράγει τον μερομορφικό χώρο του Τ. Υπάρχει μια εξίσωση


[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,

όπου οι συντελεστές g2 και g3 εξαρτώνται από τ, δίνοντας κατά συνέπεια μια ελλειπτική καμπύλη Eτ από την άποψη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αντιστροφή αυτού ολοκληρώνεται από τη j-σταθερά j(E), η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει τ και ως εκ τούτου ένα δακτύλιο.

Ταξινόμηση των επιφανειών Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η σφαίρα των επιφανειών Riemann μπορεί να διαιρεθεί σε τρία καθεστώτα: υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές επιφάνειες Riemann, με τη διάκριση που δίνεται από το θεώρημα uniformization. Γεωμετρικά, αυτοί αντιστοιχούν σε αρνητική κυρτότητα, μηδενική κυρτότητα(δηλ. οριζόντια), και τη θετική κυρτότητα: δηλώνοντας το θεώρημα uniformization από την άποψη της σύμμορφης γεωμετρίας, κάθε συνδεδεμένη επιφάνεια Χ Riemann αναγνωρίζει ένα μοναδικό πλήρες 2-διαστατο πραγματικό Riemann μετρικό με τη σταθερή κυρτότητα −1, 0 ή 1 που προκαλούν την ίδια σύμμορφη δομή – κάθε μετρικός είναι συμμορφικά ισοδύναμος με μια σταθερή κυρτότητα μετρική. Η επιφάνεια Χ καλείται υπερβολική, παραβολική, και ελλειπτική, αντίστοιχα. Για τις απλά συνδεδεμένες επιφάνειες Riemann, το θεώρημα uniformization δηλώνει ότι κάθε απλά συνδεδεμένη επιφάνεια Riemann είναι συμμορφικά ισοδύναμη με ένα από τα εξής:

ελλειπτική
σφαίρα Riemann \widehat{\mathbf{C}} :=  \mathbf{C} \cup\{\infty\}
παραβολική
το μιγαδικό επίπεδο C ή
υπερβολική
ο ανοιχτός δίσκος D := {zC : |z| < 1} ή ισοδύναμα με τα δύο άνω τεταρτημόρια H := {zC : Im(z) > 0}

Η ύπαρξη αυτών των τριών τύπων παραλληλίζει τις διάφορες μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες. Η γενική τεχνική σε ένα τοπολογικό χώρο Χ η καθολική κάλυψή της Υ, και το αρχικό Χ ως πηλίκο του Υ από την ομάδα αυτομορφησμών δίνει μια πρώτη επισκόπηση σχετικά με τις επιφάνειες Riemann

Ελλειπτικές επιφάνειες Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξ ορισμού, αυτές είναι οι επιφάνειες Χ με τη σταθερή κυρτότητα +1. Η σφαίρα Riemann C∪{∞} είναι το μόνο παράδειγμα. (Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι παραδείγματα των παραβολικών επιφανειών Riemann. Η ονομασία προέρχεται από την ιστορία: οι ελλειπτικές συναρτήσεις συνδέονται με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα, τα οποία παρουσιάζουν με τη σειρά τους τον υπολογισμό της περιφέρειας των ελλείψεων).

Παραβολικές επιφάνειες Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξ ορισμού, αυτές είναι οι επιφάνειες Χ με τη σταθερή κυρτότητα 0. Ισοδύναμα, από το θεώρημα uniformization, η καθολική κάλυψη του Χ πρέπει να είναι το μιγαδικό επίπεδο. Υπάρχουν έπειτα τρεις δυνατότητες για το Χ. Μπορεί να είναι το ίδιο το επίπεδο, ένας δακτύλιος, ή ένα τόρους

T := C / (Z ⊕ τZ)

Το σύνολο αντιπροσώπων των στοιχείων καλείται θεμελιώδεις περιοχές. Η προσοχή πρέπει να ληφθεί στο μέτρο που δύο δακτύλια είναι πάντα ομοιομορφικά, αλλά γενικά μη βιχολομορφικά το ένα με το άλλο. Αυτό είναι η πρώτη εμφάνιση του προβλήματος των συντελεστών. Ο συντελεστής ενός δακτυλίου μπορεί να συλληφθεί από έναν ενιαίο σύνθετο αριθμό τ με το θετικό φανταστικό μέρος. Στην πραγματικότητα, το χαρακτηρισμένο διάστημα συντελεστών (διάστημα Teichmüller) του δακτυλίου είναι βιχολομορφικό στον ανώ μισό επίπεδο ή ισοδύναμα ο ανοικτός δίσκος μονάδων.

Υπερβολικές επιφάνειες Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι επιφάνειες Riemann με την κυρτότητα −1 καλούνται υπερβολικές. Αυτή η ομάδα είναι «η μεγαλύτερη». Το γιορτασμένο θεώρημα χαρτογράφησης Riemann δηλώνει ότι οποιοδήποτε απλά συνδεδεμένο ακριβές υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου είναι βιχολομορφικο στο δίσκο μονάδων. Επομένως ο ανοικτός δίσκος με τον poincaré-μετρικό της σταθερής κυρτότητας −1 είναι το τοπικό πρότυπο οποιασδήποτε υπερβολικής επιφάνειας Riemann. Σύμφωνα με το θεώρημα uniformization ανωτέρω, όλες οι υπερβολικές επιφάνειες είναι πηλίκα του δίσκου μονάδων.

Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν όλες τις επιφάνειες με το γένος g > 1 όπως οι υπερβολικός-ελλειπτικές καμπύλες.

Για κάθε υπερβολική επιφάνεια Riemann, η θεμελιώδης ομάδα είναι ισομορφική σε μια ομάδα Fuchsian, και έτσι η επιφάνεια μπορεί να διαμορφωθεί από ένα Fuchsian πρότυποH/Γ όπου το Χ είναι στο ανω μισο επίπεδο και Γ είναι η ομάδα Fuchsian. Το σύνολο αντιπροσώπων των cosets H/Γ είναι ελεύθερα κανονικά σύνολα και μπορεί να διαμορφωθεί στα μετρικά θεμελιώδη πολύγωνα. Οι δομές πηλίκου ως H/Γ είναι γενικευμένες στις ποικιλίες Shimura.

Αντίθετα από τις ελλειπτικές και παραβολικές επιφάνειες, καμία ταξινόμηση των υπερβολικών επιφανειών δεν είναι δυνατή. Οποιοδήποτε συνδεδεμένο ανοικτό ακριβές υποσύνολο του επιπέδου δίνει μια υπερβολική επιφάνεια εξετάστε το επίπεδο μείον ένα Cantor set. Μια ταξινόμηση είναι δυνατή για τις επιφάνειες πεπερασμένου τύπου:εκείνες που είναι ισομορφικές σε μια συμπαγή επιφάνεια με έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων αφαιρούμενων. Οποιοσδήποτε από αυτούς έχει έναν πεπερασμένο αριθμό συντελεστών και έτσι ενός πεπερασμένου διαστατικού διαστήματος Teichmüller. Το πρόβλημα των συντελεστών (που λύνονται από Lars Ahlfors και που επεκτείνονται από Lipman Bers) ήταν να δικαιολογηθεί η αξίωση Riemann που για μια κλειστή επιφάνεια του γένους g, 3g − 3 μιγαδικοί παράμετροι αρκεί.

Όταν μια υπερβολική επιφάνεια είναι συμπαγής, κατόπιν η συνολική έκταση της επιφάνειας είναι 4π(g − 1), όπου το γ είναι το γένος της επιφάνειας η περιοχή λαμβάνεται με την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss-Bonnet στην περιοχή του θεμελιώδους πολυγώνου.

Χάρτες μεταξύ των επιφανειών Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γεωμετρική ταξινόμηση απεικονίζεται στους χάρτες μεταξύ των επιφανειών Riemann, όπως εκτίθεται λεπτομερώς στο θεώρημα Liouville και το θεώρημα Little Picard: οι χάρτες από υπερβολικό σε παραβολικό σε ελλειπτικό είναι εύκολοι, αλλά οι χάρτες από ελλειπτικό παραβολικός ή παραβολικός σε υπερβολικό είναι πολύ περιορισμένοι. Υπάρχουν συνυπολογισμοί του δίσκου στο επίπεδο στη σφαίρα:\Delta \subset \mathbf{C} \subset \widehat{\mathbf{C}}, αλλά οποιοσδήποτε μερομορφικός χάρτης από τη σφαίρα στο επίπεδο είναι σταθερός, οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο δίσκο μονάδων είναι σταθερός (θεώρημα Liouville), και στην πραγματικότητα οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο αεροπλάνο μείον δύο σημεία είναι σταθερός (θεώρημα Little Picard)!

Τρυπημένες σφαίρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτές οι δηλώσεις διευκρινίζονται με την εξέταση του τύπου μιας σφαίρας \widehat{\mathbf{C}} Riemann με διάφορες οπές . Χωρίς τις οπές, είναι μια σφαίρα Riemann, η οποία είναι ελλειπτική. Με μια οπή, που μπορεί να τοποθετηθεί στο άπειρο, είναι το σύνθετο επίπεδο, το οποίο είναι παραβολικό. Με δύο οπές, είναι το τρυπημένος επίπεδο ή εναλλακτικά ο δακτύλιος ή κύλινδρος, οι οποίοι είναι παραβολικοί. Με τρεις ή περισσότερες οπές, είναι υπερβολικό. Κάποιος μπορεί να χαρτογραφήσει από μια οπή σε δύο, μέσω του εκθετικού χάρτη (που είναι ολόκληρος και έχει μια ουσιαστική ιδιομορφία στο άπειρο, τόσο που δεν καθορίζεται στο άπειρο, και χάνει μηδέν και το άπειρο), αλλά όλους τους χάρτες από μηές οπές σε μια ή περισσότερες, ή μια ή δύο οπές σε τρεις ή περισσότεροι είναι σταθεροί

Ισομετρίες των επιφανειών Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ισομετρική ομάδα απο μια επιφάνεια Riemann (ισοδύναμα, η σύμμορφη αυτόμορφη ομάδα) απεικονίζει τη γεωμετρία της:

  • γένος 0 – η ισομετρική ομάδα της σφαίρας είναι η ομάδα Möbius προβολικών μετατροπών της μιγαδικής γραμμής,
  • η ισομετρική ομάδα του επιπέδου είναι η άπειρη υποομάδα, και του τρυπημένου επιπέδου είναι η υποομάδα που αφήνει αμετάβλητο το σύνολο που περιέχει μόνο το άπειρο και μηδέν: είτε καθορίζοντας τους και οι δύο, είτε ανταλλάσσοντας τους (1/z).
  • η ισομετρική ομάδα του ανω μισού καρτεσιανού γινομένου είναι η πραγματική ομάδα Möbius αυτό είναι συζευγμένο στην αυτόμορφη ομάδα ομάδα του δίσκου.
  • γένος 1 – η ισομετρική ενός δακτυλίου είναι γενικά μεταφράσεις (ως αβελιανή ποικιλία), αν και το τετραγωνικό δικτυωτό πλέγμα και το εξαγωνικό δικτυωτό πλέγμα έχουν τις συμμετρίες προσθηκών από την περιστροφή από 90° και 60°.
  • Για το γένος ≥ 2, η ισομετρική ομάδα είναι πεπερασμένη, και έχει τη διαταγή το πολύ-πολύ 84(g-1), από το θεώρημα αυτομορφισμού Hurwitz οι επιφάνειες που πραγματοποιούν αυτό συνδεδεμένο καλούνται επιφάνειες Hurwitz.
  • Είναι γνωστό ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα μπορεί να πραγματοποιηθεί ως πλήρης ισομετρική ομάδα κάποιας επιφάνειας riemann.[2]
    • Για το γένος 2 η τάξη μεγιστοποιείται από την επιφάνεια Bolza, με τάξη 48.
    • Για το γένος 3 η τάξη μεγιστοποιείται από το Klein quartic, με τη σειρά 168 αυτό είναι η πρώτη επιφάνεια Hurwitz, και είναι ομάδα αυτομορφισμός, είναι ισομορφική στη μοναδική απλή ομάδα τάξης 168, η οποία είναι η δεύτερη μικρότερη μη-αβελιανή απλή ομάδα.
    • Για το γένος 4,η επιφάνεια Bring's είναι μια ιδιαίτερα συμμετρική επιφάνεια.
    • Για το γένος 7 η τάξη μεγιστοποιείται από την επιφάνεια Macbeath, με τάξη 504 αυτό είναι η δεύτερη επιφάνεια Hurwitz, και η αυτόμορφη ομάδα είναι ισομορφη, η τέταρτη μικρότερη μη-αβελιανή απλή ομάδα.

Συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σχέδιο ταξινόμησης ανωτέρω χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από γεωμετριστές. Υπάρχει μια διαφορετική ταξινόμηση για τις επιφάνειες Riemann που χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από τους μιγαδικούς αναλυτές. Υιοθετεί έναν διαφορετικό καθορισμό για «παραβολικός» και «υπερβολικός». Σε αυτό το εναλλακτικό σχέδιο ταξινόμησης, μια επιφάνεια Riemann καλείται παραβολική εάν δεν υπάρχει καμία μη συνεχής αρνητική υποαρμονική συνάρτηση στην επιφάνεια και ειδάλλως καλείται υπερβολική. .[3][4] Αυτή η κατηγορία υπερβολικών επιφανειών υποδιαιρείται περαιτέρω στις υποκατηγορίες σύμφωνα με το εάν τα διαστήματα των συναρτήσεων εκτός από τις αρνητικές υποαρμονικές συναρτήσεις είναι εκφυλισμένες, π.χ. επιφάνειες Riemann στις οποίες όλες οι οριακές ολομορφικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες οριακές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες όλες οι θετικές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, κ.λ.π.

Για να αποφύγετε τη σύγχυση, καλέστε την ταξινόμηση βασισμένη στις μετρικές της σταθερής κυρτότητας στη γεωμετρική ταξινόμηση, και αυτή βασισμένη στον εκφυλισμό της συνάρτησης χωρίζει κατά διαστήματα τη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση. Παραδείγματος χάριν, η επιφάνεια Riemann που αποτελείται από «όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτώς 0 και 1» είναι παραβολική στη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση αλλά είναι υπερβολική στη γεωμετρική ταξινόμηση.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Δείτε Harvard citations(Jost 2006, Ch. 3.11)για την κατασκευή μιας αντίστοιχης μιγαδικής δομής.
  2. L.Greenberg, Maximal groups and signatures, Ann. Math. Studies 79 (1974) 207–226
  3. Ahlfors, Lars; Sario, Leo (1960), Riemann Surfaces (1st έκδοση), Princeton, New Jersey: Princeton University Press, σελ. 204 
  4. Rodin, Burton; Sario, Leo (1968), Principal Functions (1st έκδοση), Princeton, New Jersey: D. Von Nostrand Company, Inc., σελ. 199 

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Riemann surface της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).