Ευκλείδεια απόσταση

Στα μαθηματικά, η Ευκλείδεια απόσταση ή μετρική^[1] μεταξύ δύο σημείων στον ευκλείδειο χώρο είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα συνδέσει. Μπορεί να υπολογιστεί από τις καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και γι' αυτό αναφέρεται και ως Πυθαγόρεια απόσταση.

Οι ονομασίες αυτές προκύπτουν από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς Ευκλείδη και Πυθαγόρα. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, οι αποστάσεις δεν αναπαρίσταντο ως αριθμοί αλλά ως ευθύγραμμα τμήματα ίδιου μήκους, τα οποία θεωρούνταν «ίσα». Η έννοια της απόστασης ενυπάρχει στο εργαλείο του διαβήτη που χρησιμοποιείται για τη σχεδίαση ενός κύκλου, του οποίου όλα τα σημεία έχουν την ίδια απόσταση από ένα κοινό κεντρικό σημείο. Η σύνδεση του Πυθαγόρειου θεωρήματος με τον υπολογισμό της απόστασης δεν έγινε παρά μόνο τον 18ο αιώνα.

Η απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων που δεν είναι σημεία ορίζεται συνήθως ως η μικρότερη απόσταση μεταξύ ζευγών σημείων από τα δύο αντικείμενα. Είναι γνωστοί τύποι για τον υπολογισμό αποστάσεων μεταξύ διαφόρων τύπων αντικειμένων, όπως η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία. Στα προχωρημένα μαθηματικά, η έννοια της απόστασης έχει γενικευτεί σε αφηρημένους μετρικούς χώρους και έχουν μελετηθεί και άλλες αποστάσεις εκτός από τις ευκλείδειες. Σε ορισμένες εφαρμογές στη στατιστική και τη βελτιστοποίηση, χρησιμοποιείται το τετράγωνο της ευκλείδειας απόστασης αντί της ίδιας της απόστασης.

Ορισμός

Η ευκλείδεια μετρική είναι η συνάρτηση $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} \,$ που αντιστοιχεί σε δύο σημεία $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \,$ του $n-$ διάστατου Ευκλείδειου χώρου $\mathbb {R} ^{n}\,$ , $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})$ τον πραγματικό αριθμό

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}

.

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη" (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο, $n-$ διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις

Μία διάσταση (n = 1)

Για δύο σημεία στον άξονα των πραγματικών αριθμών ${\rm {P}}=(p_{x})$ και ${\rm {Q}}=(q_{x})$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των τιμών τους

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|

.

Δύο διαστάσεις (n = 2)

Για δύο σημεία στο επίπεδο, ${\rm {P}}=(p_{x},p_{y})$ και ${\rm {Q}}=(q_{x},q_{y})$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}

.

Ιδιότητες

Η Ευκλείδεια απόσταση στον $\mathbb {R} ^{n}$ καθότι είναι μία μετρική συνάρτηση, ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

$d(x,y)=0$ αν και μόνο αν $x=y$ ,
$d(x,y)=d(y,x)$ για κάθε $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (συμμετρική ιδιότητα),
$d(x,z)<d(x,y)+d(y,z)$ για κάθε $x,y,z\in \mathbb {R} ^{n}$ (τριγωνική ανισότητα).