Ελλειπτική καμπύλη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη πάνω από ένα σώμα η οποία δίνεται από την εξίσωση:

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

ECexamples01.png

Άθροιση σημείων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης . Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Το άθροισμα των ορίζεται ως το συμμετρικό του ως προς τον άξονα . Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του και συμβολίζεται με . Δηλαδή ισχύει: .

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.

ECClines.svg