Κλειστότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Αναδιατύπωση μαθηματικού ορισμού; Προσθήκη παραπομπών; Προσθήκη παραδειγμάτων |
μ επ. Ετικέτα: επεξεργασία κώδικα 2017 |
||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της '''κλειστότητας''' σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα [[σύνολο]] ως έξης |
Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της '''κλειστότητας''' σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα [[σύνολο]] ως έξης: |
||
:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο. |
:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο. |
||
Γραμμή 5: | Γραμμή 5: | ||
:Έστω ένα σύνολο <math>S</math>, μία [[Δυαδική πράξη|δυαδική πράξη]] <math>\cdot</math> στο σύνολο (δηλαδή <math>\cdot : S \times S \to S</math>) και ένα σύνολο <math>H \subseteq S</math>. Τότε το <math>(H , \cdot)</math> ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν |
:Έστω ένα σύνολο <math>S</math>, μία [[Δυαδική πράξη|δυαδική πράξη]] <math>\cdot</math> στο σύνολο (δηλαδή <math>\cdot : S \times S \to S</math>) και ένα σύνολο <math>H \subseteq S</math>. Τότε το <math>(H , \cdot)</math> ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν |
||
::<math>\forall a, b \in H. a \cdot b \in H</math>. |
::<math>\forall a, b \in H. a \cdot b \in H</math>. |
||
Τότε λέμε ότι το <math>H</math> είναι |
Τότε λέμε ότι το <math>H</math> είναι κλειστό ως προς την πράξη <math>\cdot</math>.<ref>{{cite web |last=Μαρμαρίδης |first=Νίκος |title=Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων |url=http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων |accessdate=18 Ιουλίου 2022 |pages=1}}</ref> |
||
== Παραδείγματα == |
== Παραδείγματα == |
||
Γραμμή 13: | Γραμμή 13: | ||
* Έστω <math>H = \{ 2k : k \in \N \}</math>, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός. |
* Έστω <math>H = \{ 2k : k \in \N \}</math>, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός. |
||
* Έστω <math>H = \{ k^3 : k \in \N \}</math>, το σύνολο των [[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]] φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> '''δεν''' ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. <math>1^3 + 2^3 = 9</math> που δεν είναι κύβος). |
* Έστω <math>H = \{ k^3 : k \in \N \}</math>, το σύνολο των [[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]] φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> '''δεν''' ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. <math>1^3 + 2^3 = 9</math> που δεν είναι κύβος). |
||
* Εξ |
* Εξ ορισμού σε κάθε [[Μονοειδές|μονοειδές]], [[Ομάδα|ομάδα]], [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]], [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]], το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας. |
||
== Παραπομπές == |
== Παραπομπές == |
Τρέχουσα έκδοση από την 12:44, 18 Ιουλίου 2022
Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της κλειστότητας σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα σύνολο ως έξης:
- Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.
Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:[1]
- Έστω ένα σύνολο , μία δυαδική πράξη στο σύνολο (δηλαδή ) και ένα σύνολο . Τότε το ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν
- .
Τότε λέμε ότι το είναι κλειστό ως προς την πράξη .[2]
Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Το δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο αντίστροφο.
- Το δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους δεν ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα , που δεν ανήκει στο .
- Έστω , το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
- Έστω , το σύνολο των κύβων φυσικών αριθμών και η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το δεν ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. που δεν είναι κύβος).
- Εξ ορισμού σε κάθε μονοειδές, ομάδα, σώμα, δακτύλιο, το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (Seventh έκδοση). Harlow, Essex: Pearson Education. σελ. 21. ISBN 9781292037592.
- ↑ Μαρμαρίδης, Νίκος. «Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων» (PDF). Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. σελ. 1. Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2022.