Ανισότητα Γένσεν

Η ανισότητα Γένσεν για την κυρτή συνάρτηση $f$ για δύο μεταβλητές $x_{1},x_{2}$, δίνει ότι για κάθε $\lambda \in [0,1]$ το κόκκινο σημείο είναι άνω του πράσινου.

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ και πραγματικούς αριθμούς $x_{1},\ldots ,x_{n}$, ισχύει ότι

$f\left({\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}.$

Πιο γενικά, για κάθε $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\geq 0$ με $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1$, ισχύει ότι

$f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}\right)\leq \lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n}).$

Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

Απόδειξη

Μία συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ είναι κυρτή αν για κάθε $a,b\in \mathbb {R}$ και $\lambda \in [0,1]$, ισχύει ότι

$f\left(\lambda \cdot a+(1-\lambda )\cdot b\right)\leq \lambda \cdot f(a)+(1-\lambda )\cdot f(b).$

(1)

Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για $n=2$, θέτοντας $a=x_{1}$ και $b=x_{2}$. Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε $n\geq 2$ με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για $n$ και κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n}$ και κάθε $\lambda _{1}',\ldots ,\lambda _{n}'\geq 0$ με $\lambda _{1}'+\ldots +\lambda _{n}'=1$, δηλαδή

$f\left(\lambda _{1}'x_{1}+\ldots +\lambda _{n}'x_{n}\right)\leq \lambda _{1}'f(x_{1})+\ldots +\ldots \lambda _{n}'f(x_{n}).$

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n+1}$ και $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n+1}\geq 0$ με $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n+1}=1$. Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,

${\begin{aligned}f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)&=f\left((\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&=f\left((\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+(1-(\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}))\cdot x_{n+1}\right),\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας ότι $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n+1}=1$.

Από την (1) για $\lambda =\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}$, $a={\tfrac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}$ και $b=x_{n+1}$, έχουμε ότι

$f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\leq (\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot f\left({\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}\right)+\lambda _{n+1}\cdot f(x_{n+1})$.

Από την επαγωγική υπόθεση, για $\lambda _{i}'={\tfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}$ (καθώς $\lambda _{1}'+\ldots +\lambda _{n}'=1$) έχουμε ότι

$f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\leq (\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n})}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+\lambda _{n+1}f(x_{n+1})=\lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n+1}f(x_{n+1})$,

που ολοκληρώνει την απόδειξη για $n+1$ μεταβλητές.

Εφαρμογές

Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:

• της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς)
• της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων)
• της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή $f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))$ για την αναμενόμενη τιμή $\operatorname {E}$)

Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων

Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

• της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
• της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο
• της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς
• της ανισότητας Νέσμπιττ

Ιστορία

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906. Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.