Ανισότητα Νέσμπιττ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ (αναφέρεται και ως ανισότητα Nesbitt) αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ και λέει ότι

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $a=b=c$.

Αποδείξεις

Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.

Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου  

Θεωρούμε $x=b+c$, $y=a+c$ και $z=a+b$. Τότε, έχουμε ότι

$a={\tfrac {1}{2}}\cdot (y+z-x)$, $b={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+z-y)$, και $c={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+y-z)$.

Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

${\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.$

Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

${\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,$

η οποία είναι ισοδύναμη με την

${\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.$

Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για $6$ όρους,

${\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}\cdot {\frac {z}{y}}\cdot {\frac {y}{z}}\cdot {\frac {z}{x}}\cdot {\frac {x}{z}}}}=6$.

Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για $2$ όρους

$u+{\frac {1}{u}}\geq 2\Leftrightarrow u^{2}-2u+1\geq 0\Leftrightarrow (u-1)^{2}\geq 0,$ για οποιοδήποτε $u>0$.

Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x=y=z$, που είναι ισοδύναμο με $a=b=c$.

Με ανισότητα Γένσεν  

Έστω $S=a+b+c$ το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως

${\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq {\frac {3}{2}}.$

Θεωρούμε την συνάρτηση $f:(0,S)\to \mathbb {R}$,

$f(x)={\frac {x}{S-x}}.$

Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $(0,S)$ καθώς

$f'(x)={\frac {S}{(S-x)^{2}}}\quad$ και $\quad f''(x)={\frac {2S}{(S-x)^{3}}}\geq 0$ για κάθε $x\in (0,S)$.

Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Γένσεν για την $f$ και τους $a,b,c$

$f(a)+f(b)+f(c)\geq 3\cdot f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right),$

η οποία είναι ισοδύναμη με

${\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq 3\cdot {\frac {S/3}{S-S/3}}={\frac {3}{2}}.$

Από την ανισότητα Γένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν $a=b=c$.

Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς  

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς,

$\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\cdot \left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\geq \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)^{2}$

Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε $3$ και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη

${\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {b+a+c}{a+c}}+{\frac {c+a+b}{a+b}}\geq {\frac {9}{2}}.$

Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε

$\left(a+b+c\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}},$

που είναι επίσης ισοδύναμη με

$\left((a+b)+(b+c)+(a+c)\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)\geq 9,$

(1)

Θέτοντας $x_{1}={\sqrt {a+b}}$, $x_{2}={\sqrt {b+c}}$, $x_{3}={\sqrt {a+c}}$ και $y_{1}=1/{\sqrt {b+c}}$, $x_{2}=1/{\sqrt {a+b}}$, $x_{3}=1/{\sqrt {a+c}}$ στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα.

$\left(\left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b+c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {a+c}}\right)^{2}\right)\cdot \left(\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {b+c}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {a+c}}}\right)^{2}\right)\geq \left(1+1+1\right)^{2}=9.$

Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου  

Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (1) χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς $x=a+b$, $y=b+c$ και $z=c+a$. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε

${\frac {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}}}.$

Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε

$\left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\cdot \left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}\right)\geq 9,$

η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.

Με ανισότητα της αναδιάταξης  

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα $a,b,c$ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $a\geq b\geq c$, και επομένως έχουμε ότι $a+b\geq a+c\geq b+c$ και ότι

${\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.$

Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},$

και

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.$

Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε

$2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.$

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.

Ιστορία

Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.

Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα $n$ αριθμών $x_{1},\ldots ,x_{n}$

${\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}.$