Κενό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως $\emptyset$, $\varnothing$ ή $\{\}$. Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως

$\exists S.\forall x.\neg (x\in S)$,

δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως

${\begin{aligned}\mathrm {0} &=\emptyset ,\\\mathrm {1} &=\{\emptyset \},\\\mathrm {2} &=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\\&\qquad \vdots \\\mathrm {n} &=\{\mathrm {0} ,\mathrm {1} ,\ldots ,\mathrm {n} -1\},\\&\qquad \vdots \end{aligned}}$

Ιδιότητες

• Το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Απόδειξη  

Δύο σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$ είναι ίσα ανν

$\forall x.x\in S_{1}\Leftrightarrow x\in S_{2}$.

Έστω ότι υπήρχαν δύο κενά σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$, τότε είναι ίσα καθώς η παραπάνω διπλή συνεπαγωγή ικανοποιείται για κάθε $x$ αφού $x\in S_{1}$ και $x\in S_{2}$ είναι ψευδή από τον ορισμό των κενών συνόλων.

• Για κάθε σύνολο $S$, ισχύει ότι $S\cap \emptyset =\emptyset$.

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο $x$,

$x\in S\cap \emptyset \Leftrightarrow x\in S\wedge x\in \emptyset \Leftrightarrow \mathrm {F} \Leftrightarrow x\in \emptyset .$

Επομένως, $S\cap \emptyset =\emptyset$.

• Για κάθε σύνολο $S$, ισχύει ότι $S\cup \emptyset =S$

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο $x$,

$x\in S\cup \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S.$

Επομένως, $S\cup \emptyset =S$.

• Το δυναμοσύνολο του κενού συνόλου είναι το σύνολο $\{\emptyset \}$.
• Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου $S$, δηλαδή $\emptyset \subseteq S$.

Απόδειξη  

Για κάθε στοιχείο $x$, έχουμε ότι

$x\in \emptyset \Rightarrow \mathrm {F} \Rightarrow x\in S$.

Επομένως, $\emptyset \subseteq S$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Υποσύνολο
• Μονοσύνολο