Μαθηματικά

Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία.

Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τους τομείς που μελετούν για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα μαθηματικά ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.

Η λέξη προέρχεται από τον (αρχαίο) πληθυντικό τού ουδετέρου τού επιθέτου μαθηματικός < μαθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ γνώσεις, γνώση, παιδεία, πείρα, εμπειρία

Γενική επισκόπηση και ιστορία των μαθηματικών

Η μελέτη της δομής, που θεματοποιείται σήμερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας.

Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από μετρήσεις εμβαδών (Αιγύπτιοι), θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα μαθηματικά. Ακόμη, οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική μέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους μαθηματικούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποδείχτηκε μόλις το 19ο αιώνα ότι δεν μπορούν να επιτευχθούν με αυτήν τη μέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας, ή αλλιώς "πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη", στάθηκε η αφορμή να ανακαλυφθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι.

Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του απειροστικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.

Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσστεαι ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.

Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία κ.λπ, τα μαθηματικά παίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο.

Διάσημες μαθηματικές προτάσεις είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, η Υπόθεση του συνεχούς του Γκέοργκ Κάντορ, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το θεώρημα μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ κ.ά., ενώ πολύ γνωστές εικασίες που μένουν να αποδειχτούν είναι μεταξύ άλλων η Υπόθεση του Ρήμαν, η Eικασία του Γκόλντμπαχ και η "P ≠ NP". Τα 23 προβλήματα του Νταβίντ Χίλμπερτ, διατυπωμένα στις αρχές του 20ου αιώνα, αν και σήμερα ως επί το πλείστον απαντημένα, έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην μαθηματική έρευνα.

Το υψηλότερο βραβείο στα μαθηματικά είναι το βραβείο Fields awards. Δεν υπάρχει Βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά.

Κλάδοι των Μαθηματικών

Μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε χοντρικά τους επιμέρους κλάδους των μαθηματικών όπως παρακάτω, χωρίς να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αλληλεπικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών κατηγοριών.

Άλγεβρα

Η άλγεβρα είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της (αλγεβρικής) δομής.

• Γραμμική Άλγεβρα
• Θεωρία ομάδων
• Θεωρία σωμάτων
• Θεωρία Γκαλουά
• Αντιμεταθετική άλγεβρα
• Άλγεβρες Λη
• Θεωρία αριθμών
  • Αλγεβρική θεωρία αριθμών
  • Αναλυτική θεωρία αριθμών

Μαθηματική ανάλυση

Η μαθηματική ανάλυση είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της απόστασης.

• Απειροστικός λογισμός
  • Διαφορικός λογισμός
  • Ολοκληρωτικός λογισμός
• Τοπολογία
• Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
• Συναρτησιακή ανάλυση
• Μιγαδική ανάλυση
• Διαφορικές εξισώσεις
• Δυναμικά συστήματα
  • Θεωρία του χάους
• Αριθμητική ανάλυση

Γεωμετρία

Η γεωμετρία είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια του σχήματος.

• Ευκλείδεια γεωμετρία
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Διαφορική γεωμετρία
• Αλγεβρική γεωμετρία

Εφαρμοσμένα μαθηματικά

Καθιερωμένοι κλάδοι εφαρμοσμένων μαθηματικών είναι οι παρακάτω:

• Μαθηματική φυσική
• Θεωρία πιθανοτήτων
• Στατιστική
• Θεωρία πληροφοριών
• Βελτιστοποίηση
• Θεωρία παιγνίων
• Λογισμός μεταβολών
• Θεωρητική πληροφορική
  • Θεωρία τυπικών γλωσσών
  • Θεωρία υπολογισιμότητας
  • Θεωρία αλγορίθμων και υπολογιστικής πολυπλοκότητας
  • Τυπική σημασιολογία
• Μαθηματική θεωρία συστημάτων
• Κρυπτογραφία

Διακριτά μαθηματικά

Στα διακριτά μαθηματικά μελετιούνται συγκεκριμένα πεπερασμένες ή αριθμήσιμες δομές.

• Συνδυαστική
• Θεωρία γραφημάτων
• Θεωρία δικτύων

Θεμέλια των μαθηματικών

Κλάδοι που προσπαθούν να θεμελιώσουν και να ενοποιήσουν τα μαθηματικά είναι οι παρακάτω:

• Μαθηματική λογική
  • Θεωρία μοντέλων
  • Θεωρία αποδείξεων
• Θεωρία συνόλων
• Θεωρία κατηγοριών

Αποσπάσματα

Αναφορικά με την αξιωματική μέθοδο, όπου θέτουμε κάποιες θεμελιώδεις αρχές μιας (αλλιώτικα άγνωστης) δομής και στη συνέχεια οι υπόλοιπες προτάσεις προκύπτουν λογικά, Ο Μπέρτραντ Ράσσελ (Bertrand Russell) έλεγε:

Τα Μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως εκείνο το γνωστικό αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε ποτέ ούτε για τι πράγμα μιλάμε ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθές.

Αυτό εξηγεί γιατί ο Τζον φον Νόιμαν (John Von Neumann) είπε κάποτε:

Στα Μαθηματικά δεν καταλαβαίνουμε πράγματα. Απλώς τα χρησιμοποιούμε.

Δείτε ακόμη

• Φιλοσοφία των μαθηματικών
• Ιστορία των μαθηματικών
• Διδακτική των μαθηματικών
• Μαθηματικοί
• Μαθηματικές ενώσεις και εταιρίες
• Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Βιβλιογραφία (στα αγγλικά)

• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhδuser, Boston, Mass., 1980. Μια ευγενική εισαγωγή στον κόσμο των Μαθηματικών.
• Gullberg, Jan, Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Μια εγκυκλοπαιδική επισκόπηση των μαθηματικών σε καθαρή, απλή γλώσσα.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Μια μεταφρασμένη και επεκτεταμένη εκδοχή μιας Σοβιετικής εγκυκλοπαίδειας μαθηματικών, σε δέκα (ακριβούς) τόμους, το πιο πλήρες και αναγνωρίσιμο έργο διαθέσιμο. Επίσης σε χαρτόδετη έκδοση και σε CD-ROM.
• Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ένας μαθηματικός θησαυρός συντηρούμενος από το Πανεπιστήμιο του Cambridge (UK)
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, μια περιήγηση στους διαφόρους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών.
• Weisstein, Eric: World of Mathematics, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών.
• Planet Math, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών υπό κατασκευή. Χρησιμοποιεί την άδεια GFDL, επιτρέποντας ανταλλαγή άρθρων με την Βικιπαίδεια, και συμβολισμό TeX.
• MathForge, ένα blog ειδήσεων με εύρος θεμάτων από τα εκλαϊκευμένα μαθηματικά έως την εκλαϊκευμένη Φυσική, την Επιστήμη Υπολογιστών και την Εκπαίδευση.
• Metamath, ένας ιστότοπος και μια γλώσσα, που τυποποιούν τα μαθηματικά από τις βάσεις τους.