Πεπερασμένο σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ένα σύνολο $S$ για το οποίο υπάρχει φυσικός αριθμός $n\in \mathbb {N}$ και 1-1 και επί συνάρτηση $f:S\to \{1,2,\ldots ,n\}$ ή είναι το κενό σύνολο. Ο αριθμός $n$ είναι ο πληθάριθμος του συνόλου και συμβολίζεται ως $|S|$.

Για παράδειγμα, τα παρακάτω σύνολα είναι πεπερασμένα

• $S_{1}=\{1,2,3\}$,
• $S_{2}=\{2,4,6,8\}$,
• $S_{3}=\emptyset$,

ενώ τα σύνολα των φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$, ακεραίων αριθμών $\mathbb {Z}$ και των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$ είναι μη-πεπερασμένα.

Σε ένα πεπερασμένο σύνολο τα στοιχεία του μπορούν να απαριθμηθούν ως $a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Βασικές ιδιότητες

• Κάθε γνήσιο υποσύνολο $U\subset S$, ικανοποιεί $|U|<|S|$.
• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$ ισχύει από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ότι

$|S_{1}\cup S_{2}|=|S_{1}|+|S_{2}|-|S_{1}\cap S_{2}|$.

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$ το καρτεσιανό τους γινόμενο $S_{1}\times S_{2}$, ικανοποιεί

$|S_{1}\times S_{2}|=|S_{1}|\cdot |S_{2}|$.

• Το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(S)$ του $S$ έχει $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}$ στοιχεία.
• Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο.
• Κάθε ερριπτική συνάρτηση μεταξύ δύο πεπερασμένων συνόλων είναι επιρριπτική. Επίσης, κάθε επιρριπτική συνάρτηση μεταξύ πεπερασμένων συνόλων είναι ερριπτική.

Πηγές

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Menlo Park: Addison-Wesley 
• Cohn, Paul Moritz, F.R.S. (1981), Universal Algebra, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-1254-9 
• Dedekind, Richard (2012), Was sind und was sollen die Zahlen?, Cambridge Library Collection (Paperback έκδοση), Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-05038-8 
• Dedekind, Richard (1963), Essays on the Theory of Numbers, Dover Books on Mathematics (Paperback έκδοση), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-21010-3, https://archive.org/details/essaysontheoryof0000dede 
• de la Cruz, Omar; Dzhafarov, Damir D.; Hall, Eric J. (2006), «Definitions of finiteness based on order properties», Fundamenta Mathematicae 189 (2): 155–172, doi:10.4064/fm189-2-5, http://h.web.umkc.edu/halle/relfin/orderfinite-revisions.pdf 
• Herrlich, Horst (2006), Axiom of Choice, Lecture Notes in Math. 1876, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-30989-6 
• Howard, Paul· Rubin, Jean E. (1998). Consequences of the axiom of choice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 9780821809778. 
• Kuratowski, Kazimierz (1920), «Sur la notion d'ensemble fini», Fundamenta Mathematicae 1: 129–131, doi:10.4064/fm-1-1-129-131, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm1/fm1117.pdf 
• Labarre, Anthony E. Jr. (1968), Intermediate Mathematical Analysis, New York: Holt, Rinehart and Winston 
• Lévy, Azriel (1958). «The independence of various definitions of finiteness». Fundamenta Mathematicae 46: 1–13. doi:10.4064/fm-46-1-1-13. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm46/fm4611.pdf. 
• Rudin, Walter (1976), Principles Of Mathematical Analysis (3rd έκδοση), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X 
• Suppes, Patrick (1972), Axiomatic Set Theory, Dover Books on Mathematics (Paperback έκδοση), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61630-4, https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0 
• Tarski, Alfred (1924). «Sur les ensembles finis». Fundamenta Mathematicae 6: 45–95. doi:10.4064/fm-6-1-45-95. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm619.pdf. 
• Tarski, Alfred (1954). «Theorems on the existence of successors of cardinals, and the axiom of choice». Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, Indagationes Math. 16: 26–32. doi:10.1016/S1385-7258(54)50005-3. . 
• Whitehead, Alfred North· Russell, Bertrand (Φεβρουαρίου 2009) [1912]. Principia Mathematica. Two. Merchant Books. ISBN 978-1-60386-183-0.