Πεπερασμένο σύνολο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Απεικόνιση ενός πεπερασμένου συνόλου (πάνω) και ενός απέραντου συνόλου (κάτω). Το σύνολο στο κάτω μέρος συνεχίζει ατέρμονα προς τα δεξιά.

Στην μαθηματική ανάλυση και τους συναφείς τομείς των μαθηματικών, ένα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο ή φραγμένο, αν κατά κάποιο τρόπο είναι πεπερασμένου μεγέθους. Αντιστρόφως, ένα σύνολο το οποίο δεν περιορίζεται ονομάζεται μη πεπερασμένο ή απέραντο. Η λέξη πεπερασμένο δεν έχει κανένα νόημα σε ένα γενικό τοπολογικό χώρο, χωρίς κάποια μετρική.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σύνολο S πραγματικών αριθμών ονομάζεται άνω πεπερασμένο, αν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός k έτσι ώστε να ισχύει ks για όλους s στο S. Ο αριθμός κ ονομάζεται ανώτερο όριο ή άνω φράγμα του S. Οι όροι κάτω πεπερασμένο και κατώτερο όριο ή κάτω φράγμα ορίζονται ομοίως.

Ένα σύνολο S είναι πεπερασμένο αν έχει άνω και κάτω όρια. Ως εκ τούτου, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι πεπερασμένο αν περιέχεται σε ένα πεπερασμένο διάστημα.

Μετρικός χώρος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα υποσύνολο S ενός μετρικού χώρου (M, d) είναι πεπερασμένο εάν περιέχεται σε μια μπάλα πεπερασμένης ακτίνας, δηλαδή εάν υπάρχει x στον Μ και r>0 έτσι ώστε για όλα τα s στο S, να έχουμε d(x, s) < r. Ο M είναι ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος (ή η d είναι μια πεπερασμένη μετρική) εάν ο Μ είναι πεπερασμένος ως υποσύνολο του εαυτού του.

Οριοθέτηση σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στους τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους υφίσταται ένας διαφορετικός ορισμός για τα πεπερασμένα σύνολα, ο οποίος ονομάζεται και οριοθέτηση von Neumann. Οι δύο ορισμοί συμπίπτουν, εάν η τοπολογία του τοπολογικού διανυσματικού χώρου επάγεται από κάποια μετρική η οποία είναι ομοιογενής, όπως στην περίπτωση μιας μετρικής που προκαλείται από τη νόρμα του διανυσματικού χώρου.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Limusa S.A., 2009.
  • Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.