Κυματοσυνάρτηση

Η κυματοσυνάρτηση (η οποία συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα $\Psi \,$) είναι η συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger της κβαντικής μηχανικής και στην ουσία περιγράφει ένα κύμα. Σε αυτήν περιέχεται η πληροφορία για την κίνηση ενός σωματίου στο χώρο, αφού βάσει της θεώρησης του De Broglie (ντε Μπρολί) που επιβεβαιώθηκε και πειραματικά, ένα σωμάτιο συμπεριφέρεται σαν ένα κύμα με μήκος κύματος:

$\lambda ={\frac {h}{p}}\ ,$

όπου h η σταθερά δράσεως του Πλανκ και p το μέτρο της ορμής του. Ισοδύναμα, η παραπάνω σχέση μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του κυματαριθμού (k) και της ανηγμένης σταθεράς του Πλανκ (ħ) ως εξής:

$p=\hbar k$

Όταν αυτό το μήκος κύματος που φέρει το όνομα μήκος κύματος De Broglie είναι συγκρίσιμο με τις διαστάσεις του χώρου στον οποίο βρίσκεται, τότε εκδηλώνονται οι κυματικές ιδιότητες των σωμάτων.

Παρόλο που στην κυματοσυνάρτηση εμπεριέχεται όλη η γνωστή πληροφορία ενός συστήματος, στην ίδια δεν αποδίδεται φυσικό νόημα ή περιεχόμενο. Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία που πρωτοδιατυπώθηκε από τον Μαξ Μπορν το 1926, το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης είναι αυτό που έχει φυσικό νόημα, καθώς αποτελεί την πυκνότητα πιθανότητας των φυσικών μεγεθών. Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία του Μπορν, Η ποσότητα |Ψ(r)|² μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί ένα σωματίδιο που περιγράφεται από τη κυματοσυνάρτηση αυτή μέσα σε ένα στοιχειώδες όγκο d³r γύρω από τη θέση r.

Συνθήκη Κανονικοποίησης

Λόγω του ότι είναι βέβαιο γεγονός ότι θα βρούμε ένα σωμάτιο που μελετούμε κάπου στο χώρο, θα πρέπει η συνολική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε ολόκληρο το χώρο να ισούται με μονάδα. Μαθηματικά, αυτό μεταφράζεται στην απαίτηση

$\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1\ ,$

όπου η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε ολόκληρο το χώρο.

Έτσι αν το ολοκλήρωμα μίας κυματοσυνάρτησης είναι πεπερασμένο (δεν απειρίζεται, ή πιο αυστηρά είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη) και ίσο με τη μονάδα με μία σταθερά Μ≠1, αρκεί για να βρούμε την κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος να διαιρέσουμε την κυματοσυνάρτηση αυτή με Μ. Δηλαδή αν

$\int |\Psi _{M}(\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =M\ ,$

τότε

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{M}}\Psi _{M}(\mathbf {r} ,t)$

όπου Ψ_M η μη κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση.

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος, Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης (2009)
• Τραχανάς Στέφανος, Κβαντομηχανική ΙΙ, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης (2009)
• Ταμβάκης Κυριάκος, Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Leader Books 2003