Υπερκύβος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Προοπτικές προβολές
Hexahedron.svg Hypercube.svg
Κύβος (3-κύβος) Τεσσεράκτιο (4-κύβος)

Στη γεωμετρία, ο υπερκύβος ν-διαστάσεων είναι ανάλογος ενός τετραγώνου (για ν = 2) ή κύβου (για ν = 3), κτλ., και είναι επίσης ένα ορθότοπο. Πρόκειται για ένα συμπαγές πολύτοπο ο σκελετός του οποίου αποτελείται από ιδίου μήκους παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα τα οποία εδράζουν σε όλες τις διαστάσεις του χώρου που ανήκει. Η μεγαλύτερη διαγώνιος που εγγράφεται εντός ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του ν.

Ένας ν-διαστάσεων υπερκύβος καλείται επίσης ν-κύβος. Ο όρος «πολύτοπο μέτρο»[1] που χρησιμοποιείται επίσης, κυρίως στην εργασία του H.S.M. Coxeter και αρχικά από τον Elte, το 1912,[2] έχει πλέον αντικατασταθεί.

Ο Υπερκύβος μονάδας είναι ένα υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά ο υπερκύβος, οι κορυφές του οποίου (ή γωνίες) είναι 2ν στο Rν με συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1, λέγεται Μονάδα υπερκύβου.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα διάγραμμα που δείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα Τεσσεράκτιο από ένα σημείο.
0 – Ένα σημείο είναι ένας υπερκύβος σε χώρο μηδενικών διαστάσεων.
1 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το σημείο κατά μία μονάδα μήκους, τότε θα σαρώσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο είναι ένας υπερκύβος μονάδας σε χώρο μίας διαστάσεως.
2 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα (όλο το μήκος του) προς μια κάθετη κατεύθυνση σε σχέση με αυτό και απόσταση ίση με το μήκος του, τότε θα σαρώσει ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο.
3 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το τετράγωνο κατά μία μονάδα μήκους σε κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που βρίσκεται, θα δημιουργήσει έναν 3-διαστάσεων κύβο.
4 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτόν τον κύβο κατά μία μονάδα μήκους στην τέταρτη διάσταση, τότε θα δημιουργήσει ομοίως έναν 4-διαστάσεων υπερκύβο, που ονομάζεται Τεσσεράκτιο.

Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων και αυτή καθ' εαυτού η διαδικασία των σαρώσεων είναι γνωστή στα μαθηματικά ως ένα άθροισμα Minkowski: ο δ διαστάσεων υπερκύβος είναι το άθροισμα Minkowski των δ αμοιβαίων ευθυγράμμων τμημάτων που είναι κάθετα σε μία μονάδα μήκους, και κατά συνέπεια αποτελεί παράδειγμα ενός ζωνότοπου.

Κατά την τοπολογία ο μονοδιάστατος σκελετός ενός υπερκύβου είναι ένα γράφημα του υπερκύβου.

Συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια μονάδα υπερκύβου ν διαστάσεων είναι επίσης ένα κυρτό περίβλημα όλων των σημείων του όπως αυτά μετατέθηκαν στις καρτεσιανές συντεταγμένες:

\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right). Έχει μήκος ακμής 1 και ν-διάστατο όγκο ίσο με 1.

Ένας ν διαστάσεων υπερκύβος θεωρείται επίσης ως το κυρτό περίβλημα όλων των μεταθέσεων:

(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1). Έχει αντίστοιχα μήκος ακμής 2, και ν-διάστατο όγκο ίσο με 2ν.

Αυτή η μορφή επιλέγεται συχνά λόγω της ευκολίας που έχει στο να καταγράψει τις συντεταγμένες του.[3]

Σχετικές οικογένειες πολυτόπων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι υπερκύβοι είναι μία από τις λίγες οικογένειες κανονικών πολυτόπων που ισχύουν για οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Άλλες οικογένειες υπερκύβων είναι:

Μια άλλη σχετική οικογένεια ημικανονικών και ομοιόμορφων πολυτόπων είναι των Ημιυπερκύβων, οι οποίοι είναι κατασκευασμένοι από υπερκύβους με εναλλακτική διαγραφή των κορυφών και σύμπλεξη των έδρων στα κενά, επισημαίνεται ως ηγν.

Στοιχεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε ν-κύβος, όπου ν > 0, αποτελείται από στοιχεία ή ν-κύβους μιας κατώτερης διάστασης, σχετικής με την (ν-1) διαστάσεων επιφάνεια επί του υπερκύβου γονέα. Η κάθε πλευρά του υπερκύβου γονέα είναι και ένα στοιχείο της (ν-1) διάστασής του. Ένας υπερκύβος ν διαστάσεων έχει πλευρές.[5] Δηλαδή, μία 1-διαστάσεων γραμμή έχει 2 άκρα (σημεία 0-διαστάσεων), ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο έχει 4 πλευρές (γραμμές 1-διαστάσεων), ένας 3-διαστάσεων κύβος έχει 6 έδρες (τετράγωνα 2-διαστάσεων), ένα 4-διαστάσεων τεσσεράκτιο έχει 8 κελιά (κύβους 3-διαστάσεων), κοκ. ο αριθμός των κορυφών ενός ν-κύβου είναι 2ν[6] (για παράδειγμα, ένας κύβος έχει 23 = 8 κορυφές).

Ένας απλός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των (ν-2)-επιφανειών ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι: 2 - 2ν

Στοιχεία Υπερκύβου E_{m,n} \!
n γ κύβος m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n γn n-κύβος Ονομασίες
Schläfli
Coxeter-Dynkin
Κορυφές Πλευρές Επιφάνειες Κελιά 4-Επιφάνειες 5-Επιφάνειες 6-Επιφάνειες 7-Επιφάνειες 8-Επιφάνειες 9-Επιφάνειες 10-Επιφάνειες
0 γ0 0-κύβος Σημείο
-
1                    
1 γ1 1-κύβος Ευθύγραμμο τμήμα
{}
CDel node 1.png
2 1                  
2 γ2 2-κύβος Τετράγωνο
{4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 4 1                
3 γ3 3-κύβος Κύβος
Εξάεδρο
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 12 6 1              
4 γ4 4-κύβος Τεσσεράκτιο
Οκτάχωρο
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 32 24 8 1            
5 γ5 5-κύβος Πεντεράκτιο
Δεκάτερο
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 80 80 40 10 1          
6 γ6 6-κύβος Εξεράκτιο
Δωδεκάπετο
{4,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 192 240 160 60 12 1        
7 γ7 7-κύβος Επτεράκτιο
Τετραδικό 7-τοπο
{4,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 448 672 560 280 84 14 1      
8 γ8 8-κύβος Οκτεράκτιο
Εξαδικό 8-τοπο
{4,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1    
9 γ9 9-κύβος Εννεράκτιο
Οκταδικό 9-τοπο
{4,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1  
10 γ10 10-κύβος Δεκεράκτιο
Εικοσαδικό 10-τοπο
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

Γραφικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας ν-κύβος μπορεί να προβληθεί μέσα σε ένα κανονικό -γώνιο πολύγωνο με παραποίηση της ορθής προβολής, όπως παρουσιάζεται παρακάτω (από ευθύγραμμο τμήμα σε 12-κύβος).[7]

Ορθογραφικές προβολές του Πέτρι πολυγώνου
1-simplex t0.svg
Ευθύγραμμο τμήμα
2-cube.svg
Τετράγωνο
3-cube graph.svg
Κύβος
4-cube graph.svg
4-κύβος (Τεσσεράκτιο)
5-cube graph.svg
5-κύβος (Πεντεράκτιο)
6-cube graph.svg
6-κύβος (Εξεράκτιο)
7-cube graph.svg
7-κύβος (Επτεράκτιο)
8-cube.svg
8-κύβος (Οκτεράκτιο)
9-cube.svg
9-κύβος (Εννεράκτιο)
10-cube.svg
10-κύβος (Δεκεράκτιο)
11-cube.svg
11-κύβος (Ενδεκεράκτιο)
12-cube.svg
12-κύβος (Δωδεκεράκτιο)

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Olshevsky, George, Measure polytope at Glossary for Hyperspace.
  2. Elte, E. L. (1912). The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen.  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope.
  3. Bowen (1982), σσ. 97–99.
  4. Coxeter (1973), σελ. 123.
  5. OEIS A005843.
  6. OEIS A000079.
  7. Trott, M. Hypercube Projections (The Mathematica Guidebooks Additional Material).

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Bowen, J. P. (April 1982). «Hypercubes». Practical Computing 5 (4): 97–99. http://www.jpbowen.com/publications/ndcubes.html. 
  • Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Dover. σελ. 123. ISBN 0-486-61480-8.  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
  • Hill, Frederick J.; Peterson, Gerald R.. Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. NY: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9.  Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]