Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη ειδικών συναρτήσεων των γωνιών και τις εφαρμογές τους σε διάφορους υπολογισμούς , όπως στην επίλυση τριγώνου, δηλαδή με τον προσδιορισμό άγνωστων στοιχείων τριγώνου, σε συνάρτηση πλευρών και γωνιών. Η τριγωνομετρία ανάλογα του είδους των τριγώνων διακρίνεται σε επίπεδη και σφαιρική τριγωνομετρία.

Ιστορική αναδρομή

Ο όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus στο έργο του Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus. Εντούτοις η τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Ο Αρίσταρχος χρησιμοποίησε ορθογώνια τρίγωνα για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τον Ήλιο και την Σελήνη. Οι αστρονόμοι Ίππαρχος και Πτολεμαίος χρησιμοποιούσαν καταλόγους που μετέτρεπαν γωνίες κύκλου σε μήκος χορδής, η γνωστή σε μας τριγωνομετρική συνάρτηση του ημίτονου.

Οι Άραβες υιοθέτησαν τις τριγωνομετρικές μελέτες των αρχαίων Ελλήνων και των Ινδών και ανάπτυξαν την σφαιρική τριγωνομετρία. Οι μαθηματικοί της Ευρώπης μυήθηκαν στην τριγωνομετρία τον 15ο αιώνα, όταν την εποχή της Αναγέννησης ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό βαλλιστικών τροχιών. Ο Γερμανός αστρονόμος Ρεγιομοντάνος σύνταξε μια πεντάτομη διδασκαλία της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρία με τίτλο De triangulis omnimodis. Σήμερα ο τρόπος γραφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων βασίζεται κατά μεγάλο βαθμό στα έργα του Όιλερ.

Επίπεδη τριγωνομετρία

Σχήμα 1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 1, ορίζουμε τους εξής τριγωνομετρικούς αριθμούς:

$\sin\omega = \frac{\mathrm{A}\Gamma}{\Beta\Gamma}$

$\cos\omega = \frac{\mathrm{A}\Beta}{\Beta\Gamma}$

$\tan\omega = \frac{\mathrm{A}\Gamma}{\mathrm{A}\Beta}$

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε γωνία ω μπορούμε να την θέσουμε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, και από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, να έχουμε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα:

$\sin\omega = \frac{y}{\rho}$

$\cos\omega = \frac{x}{\rho}$

$\tan\omega = \frac{y}{x}$

Ιδιότητες

Σχήμα 2

Για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ισχύουν τα παρακάτω:

• $-1\leq\sin\omega\leq 1$ και $-1\leq\cos\omega\leq 1$

• $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right) = \cos\omega$ και $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right) = \sin\omega$

• $\sin(\pi-\omega) = \sin\omega \,$, $\cos(\pi-\omega) = -\cos\omega \,$ και $\tan(\pi-\omega) = -\tan\omega \,$

• $\tan\omega=\frac{\sin\omega}{\cos\omega}$

• $\sin^2\omega + \cos^2\omega = 1 \,$

• Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των ημιτόνων:

$\frac{\alpha}{\sin\mathrm{A}} = \frac{\beta}{\sin\Beta} = \frac{\gamma}{\sin\Gamma}$

όπου α, β και γ είναι οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες Α, Β και Γ αντίστοιχα.

• Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι νόμοι των συνημιτόνων:

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos\mathrm{A} \,$

$\beta^2=\gamma^2+\alpha^2-2\gamma\alpha\cos\Beta \,$

$\gamma^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\cos\Gamma \,$

Μια και $\cos\frac{\pi}{2}=0$, ο νόμος του συνημιτόνου για την ορθή γωνία ορθογώνιου τριγώνου, όπως στο Σχήμα 1, δίνει το πυθαγόρειο θεώρημα:

$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \,$

Σφαιρική τριγωνομετρία

Η σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί εν μέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφορά στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρική συνάρτηση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Τυπολόγιο σφαιρικής τριγωνομετρίας (στα Ελληνικά) (pdf)