Τύπος του Ήρωνα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β, και γ έχει εμβαδό Ε:

\mathrm{E} = \sqrt{\tau\left(\tau-\alpha\right)\left(\tau-\beta\right)\left(\tau-\gamma\right)}\,

όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου με:

\tau=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

\mathrm{E}={\sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\,}\ \over 4}.\,

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: Για ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και Α, Β, Γ οι απέναντί τους γωνίες ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων:

\sigma\upsilon\nu(\Gamma) = \frac{\alpha^2+\beta^2-\gamma^2}{2\alpha\beta}

Έχουμε:

\eta\mu(\Gamma) = \sqrt{1-\sigma\upsilon\nu^2(\Gamma)} = \frac{\sqrt{4\alpha^2 \beta^2 -(\alpha^2 +\beta^2 -\gamma^2)^2 }}{2\alpha\beta}.


Το ύψος του τριγώνου με βάση α έχει μήκος βημ(Γ), και έτσι έχουμε:

E\, = \frac{1}{2}({\beta\acute{\alpha}\sigma\eta})({\acute{\upsilon}\psi\mathrm{o}\varsigma})
= \frac{1}{2} \alpha\beta\eta\mu(\Gamma)
= \frac{1}{4}\sqrt{4\alpha^2 \beta^2 -(\alpha^2 +\beta^2 -\gamma^2)^2}
=\sqrt{\tau\left(\tau-\alpha\right)\left(\tau-\beta\right)\left(\tau-\gamma\right)}\,