Σώμα Αριθμών

Ως (αλγεβρικό) σώμα αριθμών ορίζουμε κάθε πεπερασμένη επέκταση του σώματος $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών. Πιο συγκεκριμένα ως αριθμητικό σώμα ορίζουμε κάθε υπόσωμα Κ του $\mathbb{C}$ έτσι ώστε ο βαθμός της επέκτασης του Κ επί του $\mathbb{Q}$, δηλαδή η διάσταση του Κ ως διανυσματικού χώρου επί του $\mathbb{Q}$, να είναι πεπερασμένη, επομένως $[K:\mathbb{Q}]=dim_\mathbb{Q} K<\infty$.

Παραδείγματα

• Το $\mathbb{Q} (\sqrt{2} ) = \{ a+b\sqrt{2} | a, b \in \mathbb{Q} \}$ είναι σώμα αριθμών επειδή $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$. Παρατηρήστε ότι, το ανάγωγο πολυώνυμο του $\sqrt{2}$ επί του $\mathbb{Q}$ είναι το $f(x) = x^2-2$ και άρα $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=degf(x)=2$.

• Το σώμα $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών δεν είναι σώμα αριθμών.