Θεώρημα μέσης τιμής

Υπάρχουν στον απειροστικό λογισμό δύο θεωρήματα για τη μέση τιμή μιας συνάρτησης:

Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού

Έστω μια συνάρτηση φ(χ) συνεχής στο [β,α] και παραγωγίσιμη στο (β,α). Υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀ στο (β,α) τέτοιο, ώστε: $\phi'(x_0)=\frac{\phi(\alpha)-\phi(\beta)}{\alpha-\beta}$

Αυτή η σχέση δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι παράλληλη.

Θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού

Το θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Η καμπύλη είναι η συνάρτηση, τα σκούρα μέρη είναι μέρη του ολοκληρώματός της, ενώ τα γαλάζια μέρη είναι μέρη του ορθογωνίου.

Έστω μια συνάρτηση φ(χ) συνεχής στο [α,β]. Υπάρχει τουλάχιστον ένα χ₀ στο φ([α,β]) τέτοιο, ώστε: $\chi_0(\beta-\alpha)=\int_{\alpha}^{\beta}\phi(\chi),d\chi$

Αν η συνάρτηση φ θεωρηθεί στατιστική κατανομή, τότε ο αριθμός χ₀ είναι ο αριθμητικός μέσος της. Αν η κατανομή διατηρεί πρόσημο, τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου μήκους β-α και ύψους χ₀ ισούται με το εμβαδόν της κατανομής.

Δείτε επίσης

• μέση τιμή
• μέσος όρος