Εξισώσεις Μάξγουελ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ηλεκτρομαγνητισμός
\Phi_B = \oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0
Ηλεκτρισμός · Μαγνητισμός
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία οι εξισώσεις Μάξγουελ είναι μία τετράδα εξισώσεων που διατυπώθηκαν από τον Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) και περιγράφουν τη συμπεριφορά ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις τους με την ύλη. Η αρχική δημοσίευση του Μάξγουελ αναφερόταν σε οκτώ συνολικά, αλληλοσχετιζόμενες εξισώσεις. Η μορφή των τεσσάρων εξισώσεων, όπως χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα και όπως περιγράφεται παρακάτω, σχηματοποιήθηκε από τον αυτοδίδακτο Άγγλο φυσικό και μαθηματικό Όλιβερ Χέβισάϊντ, ο οποίος τις αναδιατύπωσε χρησιμοποιώντας διανυσματικό λογισμό, απλοποιώντας τις αποδείξεις τους και συμπυκνώνοντάς τις από 8 σε 4.

Οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ περιγράφουν αντίστοιχα (με τη συνηθισμένη σειρά γραφής τους) το πως ηλεκτρικά φορτία παράγουν ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Gauss), την πειραματική απουσία μαγνητικών μονοπόλων, πως τα ηλεκτρικά ρεύματα και τα μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν μαγνητικά πεδία (Νόμος των Αμπέρ και Μάξγουελ) και το πως η μεταβολή ενός μαγνητικού πεδίου παράγει ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Φάραντεϊ για την επαγωγή).

Γενική διατύπωση των εξισώσεων Μάξγουελ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εξισώσεις του Μάξγουελ διατυπώνονται γενικά είτε σε διαφορική είτε σε ολοκληρωτική μορφή σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:

Διατύπωση στο διεθνές σύστημα μονάδων[1]
Όνομα Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή
Νόμος του Γκάους  \nabla\cdot\bold{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}  \oint_{\mathcal{S}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}
Μαγνητικός νόμος του Γκάους  \nabla\cdot\bold{B}=0  \oint_{\mathcal{S}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=0
Νόμος επαγωγής του Φαραντέι  \nabla\times\bold{E}=-\frac{\partial\bold{B}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial\Phi_{B}}{\partial t}
Νόμος του Αμπέρ  \nabla\times\bold{B}=\mu_0\bold{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\bold{E}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\Phi_{E}}{\partial t}
Διατύπωση στο σύστημα μονάδων cgs[2]
Όνομα Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή
Νόμος του Γκάους  \nabla\cdot\bold{E}=4\pi\rho  \oint_{\mathcal{S}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=4\pi Q_{\mathrm{enc}}
Μαγνητικός νόμος του Γκάους  \nabla\cdot\bold{B}=0  \oint_{\mathcal{S}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=0
Νόμος επαγωγής του Φαραντέι  \nabla\times\bold{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\bold{B}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_{B}}{\partial t}
Νόμος του Αμπέρ  \nabla\times\bold{B}=\frac{4\pi}{c}\,\bold{J}+\frac{1}{c}\frac{\partial\bold{E}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\frac{4\pi}{c}\,I+\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_{E}}{\partial t}

Παρατηρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η 1η εξίσωση είναι γνωστή ως νόμος του Γκάους και περιγράφει μαθηματικά το πειραματικό γεγονός ότι οι πηγές ηλεκτρικών πεδίων είναι τα ηλεκτρικά φορτία.
  • Η 2η εξίσωση που είναι η ανάλογη του νόμου του Γκάους για το μαγνητικό πεδίο. Συγκεκριμένα, μας πληροφορεί ότι δεν έχουν ποτέ βρεθεί μαγνητικά μονόπολα που θα μπορούσαν θεωρητικά να λειτουργήσουν ως πηγές μαγνητικών πεδίων. Περισσότερα για τα μαγνητικά μονόπολα θα βρείτε στην αντίστοιχη παράγραφο στο άρθρο για τον μαγνητισμό.
  • Η 3η εξίσωση είναι γνωστή ως ο νόμος του Φαραντέι και μας δείχνει ότι η χρονική μεταβολή του μαγνητικού πεδίου προκαλεί τη δημιουργία ηλεκτρικού πεδίου.
  • Η 4η εξίσωση είναι γνωστή ως γενικευμένος νόμος του Αμπέρ. Ο δεύτερος όρος της εξίσωσης αυτής καλείται ρεύμα μετατόπισης και προστέθηκε από τον Μάξγουελ.

Εξισώσεις Μάξγουελ στην ύλη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη περίπτωση όπου μελετώνται ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα σε υλικό που περιγράφεται από ηλεκτρική μετατόπιση D και μαγνήτιση Μ, οι εξισώσεις του Μάξγουελ διατυπώνονται με τον παρακάτω τρόπο:

Διατύπωση στο διεθνές σύστημα μονάδων[3]
Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή
\nabla\cdot\bold{D}=\rho_{\mathrm{f}} \oint_{\mathcal{S}}\bold{D}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=Q_{\mathrm{f},\mathrm{enc}}
\nabla\cdot\bold{B}=0 \oint_{\mathcal{S}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=0
\nabla\times\bold{E}=-\frac{\partial\bold{B}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial\Phi_{B}}{\partial t}
\nabla\times\bold{H}=\mu_0\bold{J}_{\mathrm{f}}+\frac{\partial\bold{D}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mu_0I_{\mathrm{f}}+\frac{\partial\Phi_{D}}{\partial t}
Διατύπωση στο σύστημα μονάδων cgs[4]
Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή
\nabla\cdot\bold{D}=4\pi\rho_{\mathrm{f}} \oint_{\mathcal{S}}\bold{D}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=4\pi Q_{\mathrm{f},\mathrm{enc}}
\nabla\cdot\bold{B}=0 \oint_{\mathcal{S}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\bold{A}=0
\nabla\times\bold{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\bold{B}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_{B}}{\partial t}
\nabla\times\bold{H}=\frac{4\pi}{c}\,\bold{J}_{\mathrm{f}}+\frac{1}{c}\frac{\partial\bold{D}}{\partial t} \oint_{\mathcal{C}}\bold{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\frac{4\pi}{c}\,I_{\mathrm{f}}+\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_{D}}{\partial t}

Σχετικιστική διατύπωση των εξισώσεων Μάξγουελ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα πλαίσια της σχετικιστικής ηλεκτροδυναμικής, οι 4 εξισώσεις του Μάξγουελ μπορούν να διατυπωθούν υπό συμπαγή μορφή ως δύο τανυστικές εξισώσεις:[5]

 F^{\mu\nu}_{,\nu}=\mu_0J^{\mu}, \ \tilde{F}^{\mu\nu}_{,\nu}=0,

όπου το σύμβολο 'ν' μετά το κόμμα (,) αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς xν=(ct,x,y,z), το σύνολο των οποίων αντιστοιχεί στις χωροχρονικές συντεταγμένες ως προς δεδομένο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Η παραπάνω διατύπωση σέβεται την αρχή της σχετικότητας.

Πίνακας αποσαφήνισης συμβόλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο παρόν άρθρο, καθώς επίσης και η σημασία και οι αντίστοιχες μονάδες τους στο διεθνές σύστημα δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Σύμβολο Περιγραφή Μονάδα μέτρησης στο S.I.
 \bold{E} \ \ \ Ηλεκτρικό πεδίο V·m-1, Ν·C-1
 \bold{B} \ \ \ Μαγνητικό πεδίο Τ, Wb·m-2
 \bold{D} \ \ \ Ηλεκτρική μετατόπιση C·m-2, N·V-1·m-1
 \bold{H} \ \ \ Μαγνητίζον πεδίο A·m-1
 \nabla \ \ \ Τελεστής ανάδελτα m-1
\partial/\partial t Μερική παράγωγος ως προς το χρόνο s-1
 \mathcal{S} \ \ \ Επιφάνεια δεδομένου (χρονικά αμετάβλητου) όγκου μέσα στον οποίο εφαρμόζονται οι εξισώσεις του Μάξγουελ. m2
 \mathcal{C} \ \ \ Συνοριακός βρόχος που ορίζει η επιφάνεια \mathcal{S}. m
 \mathrm{d}\bold{A} Απειροστό διανυσματικό στοιχείο της επιφάνειας \mathcal{S} με φορά κάθετη σε αυτήν. m2
 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} Απειροστό διανυσματικό στοιχείο του βρόχου \mathcal{C} με φορά εφαπτομενική σε αυτόν. m
 \varepsilon_0 \ \ \ Διηλεκτρική σταθερά του κενού. F·m-1
 \mu_0 \ \ \ Μαγνητική διαπερατότητα του κενού. Η·m-1, N·A-2
 \rho \ \ \ Συνολική πυκνότητα (ελεύθερου+δέσμιου) ηλεκτρικού φορτίου. C·m-3
 \rho_{\mathrm{f}} \ \ \ Συνολική πυκνότητα ελεύθερου φορτίου. C·m-3
 \bold{J} \ \ \ Συνολική πυκνότητα (ελεύθερου+δέσμιου) ηλεκτρικού ρεύματος. A·m-2
 \bold{J}_{\mathrm{f}} \ \ \ Συνολική πυκνότητα ελεύθερου ηλεκτρικού ρεύματος. A·m-2
 Q_{\mathrm{enc}} \ \ \ Συνολικό (ελεύθερο+δέσμιο) ηλεκτρικό φορτίο εντός του όγκου συνοριακής επιφάνειας \mathcal{S}. C
 Q_{\mathrm{f},\mathrm{enc}} \ \ \ Συνολικό ελεύθερο ηλεκτρικό φορτίο εντός του όγκου συνοριακής επιφάνειας \mathcal{S}. C
\oint_{\mathcal{C}} Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα πάνω στον συνοριακό βρόχο \mathcal{C} που ορίζει η επιφάνεια \mathcal{S}.
\oint_{\mathcal{S}} Επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην συνοριακή επιφάνεια \mathcal{S} που ορίζει ο όγκος εντός του οποίο εφαρμόζονται οι εξισώσεις Μάξγουελ.
\Phi_{E}=\int_{\mathcal{S}}\bold{E}\cdot\mathrm{d}\bold{A} Ροή ηλεκτρικού πεδίου μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια (κλειστή ή μη) \mathcal{S}. V·m, Ν·C-1·m2
\Phi_{D}=\int_{\mathcal{S}}\bold{D}\cdot\mathrm{d}\bold{A} Ροή του διανύσματος ηλεκτρικής μετατόπισης από οποιαδήποτε επιφάνεια (κλειστή ή μη) \mathcal{S}. V·m, Ν·C-1·m2
\Phi_{B}=\int_{\mathcal{S}}\bold{B}\cdot\mathrm{d}\bold{A} Ροή μαγνητικού πεδίου μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια (κλειστή ή μη) \mathcal{S}. Τ·m2, Wb
I=\int_{\mathcal{S}}\bold{J}\cdot\mathrm{d}\bold{A} Συνολικό ρεύμα (ελεύθερο+δέσμιο) που διέρχεται από επιφάνεια \mathcal{S}. A
I_{\mathrm{f}}=\int_{\mathcal{S}}\bold{J}_{\mathrm{f}}\cdot\mathrm{d}\bold{A} Συνολικό ελεύθερο ρεύμα που διέρχεται από επιφάνεια \mathcal{S}. A
F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} Ηλεκτρομαγνητικός τανυστής (επίσης γνωστός ως πεδιακός τανυστής).[6] Τ, Wb·m-2
\tilde{F}^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{pmatrix} Δυϊκός τανυστής.[7] Τ, Wb·m-2
J^{\mu}=(c\rho,\bold{J}) Τετρα-διάνυσμα πυκνότητας ρεύματος.[8] A·m-2

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 560. 
  2. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 560. 
  3. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 560. 
  4. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 560. 
  5. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 539. 
  6. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 536. 
  7. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 537. 
  8. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. σελ. 538. 

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3 έκδοση). Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.