Μερική διαφορική εξίσωση

Τρισδιάστατη (αριστερά) και δισδιάστατη (δεξιά) γραφική απεικόνιση μιας λύσης της δισδιάστατης εξίσωσης Laplace σε δακτύλιο (r=2 και R=4) και για αρχικές συνθήκες Dirichlet: u(r=2)=0 και u(r=4)=4sin(5*θ).

Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Ταξινόμηση
Dewey	515
MSC2010	35-XX

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλαπλών μεταβλητών και στις οποίες έχουμε μερικές παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης. Η τάξη μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ορίζεται όπως και στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Επιπλέον, ιδιαίτερης σημασίας ως προς τις μεθόδους επίλυσης είναι η ταξινόμηση σε ελλειπτικές, υπερβολικές και παραβολικές εξισώσεις, ειδικά για τις δεύτερης τάξης γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Εισαγωγή

Μια μερική διαφορική εξίσωση με άγνωστη συνάρτηση $\, u=u(x_1,...x_n)$ έχει τη γενική μορφή:

$F(x_1, \cdots x_n,u,\frac{\partial}{\partial x_1}u, \cdots \frac{\partial}{\partial x_n}u,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_1}u, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2}u, \cdots ) = 0 \,$

όπου $\, F$ είναι γραμμική συνάρτηση (γνωστή, εφόσον η μορφή δεδομένης εξίσωσης προς επίλυση είναι γνωστή) και $\, x_1,...x_n$ είναι $\, n$ το πλήθος ($\,n \ge 2$) ανεξάρτητες μεταβλητές. Η άγνωστη συνάρτηση $\, u=u(x_1,...x_n)$ ορίζεται σε ένα κάποιο χώρο, π.χ. σε όλο το $\mathbb{R}^n$ και θα δίνει τιμές π.χ. σε όλο το $\mathbb{R}$ ή συνηθέστερα στο σύνολο των μιγαδικών $\mathbb{C}$. Το σύνολο των μεταβλητών μπορεί σε δεδομένο πρόβλημα να είναι έτσι ώστε να μην είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή να έχουμε πεπλεγμένες συναρτήσεις. Ωστόσο σε κάθε περίπτωση το πρόβλημα μπορεί να λάβει τη γενική μορφή όπως παραπάνω, εισάγοντας επιπλέον $\, \nu$ (άγνωστες) μεταβλητές , όπου $\, \nu$ το πλήθος των πεπλεγμένων μεταβλητών. Συνήθως στα προβλήματα που προκύπτουν από τις εφαρμογές είναι γνωστές επί πλέον και κάποιες «συνοριακές» χωρικά και χρονικά συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η λύση, οι οποίες ονομάζονται συνοριακές και αρχικές συνθήκες και συνήθως δίνονται ή επιλέγονται ώστε να ικανοποιείται η ύπαρξη και μοναδικότητα (μονοσήμαντο) των λύσεων.

Στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, εξισώσεις δηλαδή με άγνωστη συνάρτηση μιας μεταβλητής όπως π.χ. y=f(x), ως γνωστόν οι λύσεις είναι συναρτήσεις που διαφέρουν κατά σταθερά. Κατ αντιδιαστολή, τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπου οι λύσεις είναι οικογένειες συναρτήσεων που περιέχουν αυθαίρετες συναρτήσεις.

Για παράδειγμα, όπως μπορεί ο αναγνώστης να επαληθεύσει μόνος του, κάνοντας μία μερική παραγώγιση ως προς y και απαλοιφή του f(x), οι συναρτήσεις με μορφή:

$u = yf(x)\,$

όπου f(x) τυχαία συνάρτηση του x, αποτελούν τη γενική λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης:

$y \frac{\partial u}{\partial y} = u\,$

που είναι ένα παράδειγμα μιας ιδιαίτερα απλής μερικής διαφορικής.

Ένα άλλο παράδειγμα ιδιαίτερα απλής, αλλά και πολύ σημαντικής, μερικής διαφορικής είναι η δισδιάστατη εξίσωση Laplace, η οποία γράφεται:

${\partial^2 f\over \partial x^2 } + {\partial^2 f\over \partial y^2 } = 0.$

και, όπως ο αναγνώστης μπορεί μόνος του να επαληθεύσει, έχει γενική λύση το σύνολο των συναρτήσεων:

$u = F(x+iy) + G(x-iy) \,$,

όπου F και G οποιεσδήποτε συναρτήσεις.

Γενικά οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι πολύ πιο δύσκολο να επιλυθούν από τις συνήθεις μιας μεταβλητής. Εκτός από ειδικές περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχει γενική μέθοδος επίλυσης. Οι πιο συνηθισμένες μερικές διαφορικές, ιδιαίτερα στον χώρο των φυσικών επιστημών, έχουν τέσσερις ανεξάρτητες μεταβλητές, δηλαδή τις τρεις χωρικές διαστάσεις x, y, z και τον χρόνο t.

πηγές

• G. Stephenson, 1970, Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, ελλ. μτφ, 1987.

εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Δημήτρης Τσουμπελής, 2009, Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Α'.
• Δημήτρης Τσουμπελής, 2010, Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Β΄.
• Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους μια εισαγωγική παρουσίαση σε μεθόδους αριθμητικής επίλυσης.