Υπερβολικές συναρτήσεις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Υπερβολική συνάρτηση)
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Υπερβολικό ημίτονο
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!
  • Υπερβολικό συνημίτονο
\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!
  • Υπερβολική εφαπτομένη
\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!
  • Υπερβολική συνεφαπτομένη
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix \!
  • Υπερβολική τέμνουσα
\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!
  • υπερβολική συντέμνουσα
\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!

Όπου i είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως i ^2=-1.

Χρήσιμες σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
\cosh(-x) =  \cosh x\,\!

Οπότε:

\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
\coth(-x) = -\coth x\,\!
\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
\operatorname{cosech}(-x) = -\operatorname{cosech}\, x\,\!

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

\operatorname{sech}^{-1}x=\cosh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)
\operatorname{cosech}^{-1}x=\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)
\coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1\,

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]:

\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

\sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
\cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1
\tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1
\operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1
\operatorname{cosech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)
\coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1

Παράγωγοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

 \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,
 \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,
 \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,
 \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,
\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}

Συνήθη ολοκληρώματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (Σειρά Laurent)
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi (Σειρά Laurent)

όπου

B_n \, είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
E_n \, είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ


Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672. 
  2. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html. Ανακτήθηκε στις 2008-10-20. 

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hyperbolic function της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).