Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων $V$ και $W$ επί του σώματος $F$ είναι μία συνάρτηση $T:V\to W$ η οποία ικανοποιεί

• $T(u+v)=T(u)+T(v)$, για κάθε $u,v\in V$, και
• $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, για κάθε $u\in V$ και $\alpha \in F$.

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$, για κάθε $u,v\in V$ και $\alpha ,\beta \in F$.

Αν οι διανυσματικοί χώροι $V$ και $W$ ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση $T:U\to W$:

• $T(0_{U})=0_{W}$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε ένα διάνυσμα $u\in U$. Τότε, $T(0_{U})=T(u+(-u))=T(u+(-1_{F})u)=T(u)+(-1_{F})T(u)=0_{W}.$

• Για οποιαδήποτε $n$ διανύσματα $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V$ και σταθερές $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$, ισχύει ότι

$T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})$.

Απόδειξη  

Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής.

Βασική περίπτωση: Για $n=2$ η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας.

Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για $n=k$, δηλαδή

$T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{k}T(u_{k})$.

τότε για $n=k+1$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k+1}u_{k+1})&=T((\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1})\\&=T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1}\\&=T(\alpha _{1}u_{1})+\ldots +T(\alpha _{k}u_{k})+T(\alpha _{k+1}u_{k+1}).\end{aligned}}$.

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση $T(u)=c\cdot u$ για $u\in F$ είναι γραμμική.
• Η μηδενική συνάρτηση $T(u)=0_{W}$ είναι γραμμική.
• Για κάθε πίνακα $A\in R^{n\times n}$ η συνάρτηση $T(u)=Au$ είναι γραμμική (για $U=W=\mathbb {R} ^{n}$).
• Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση

$T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt$

είναι γραμμική.

Απόδειξη  

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g$ και σταθερές $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

$T(\alpha f+\beta g)=\int _{a}^{b}(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\int _{a}^{b}\alpha f(t)\,dt+\int _{a}^{b}\beta g(t)\,dt=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,dt+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\alpha T(f)+\beta T(g).$

• Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων $C(\mathbb {R} )$ η συνάρτηση

$T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)$

είναι γραμμική.

Απόδειξη  

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g$ και σταθερές $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

$T(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\beta g)=\alpha {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {dt} }}+\beta {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {dt} }}=\alpha T(f)+\beta T(g).$

Πίνακας μετασχηματισμού

Σε κάθε διανυσματικό χώρο $U$ πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω $b_{1},\ldots ,b_{n}$ μία βάση του διανυσματικού χώρου $U$. Τότε κάθε διάνυσμα $u\in U$ μπορεί να γραφτεί ως

$u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}$,

για κάποια $b_{1},\ldots ,b_{n}\in F$. Επομένως για έναν μετασχηματισμό $T:U\to W$ έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

$T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})$.

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

${\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .$

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα $T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W$ δεν εξαρτώνται από το $u$, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό $T$. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του $U$.

Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή

Περιστροφή του $(0,1)$ κατά γωνία $\theta$.

Περιστροφή του $(1,0)$ κατά γωνία $\theta$.

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία $\theta$ από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

$\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .$

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι

${\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}$

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από

$R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$