Τετραγωνισμός του κύκλου

Το πράσινο τετράγωνο και ο μπλε κύκλος του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της γεωμετρίας. Η διατύπωσή του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι μία τέτοια κατασκευή είναι αδύνατη.

Το πρόβλημα

Ο κύκλος και το τετράγωνο του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν. Παρόλα αυτά δεν υπάρχει μια γεωμετρική μέθοδος που επιτρέπει να μεταβαίνουμε από το σχήμα στα αριστερά στο σχήμα στα δεξιά.

Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:

• να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και
• να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.

Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.

Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίσθηκε το 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.

Ο κύκλος τετραγωνίζεται:

1. με την έλικα του Αρχιμήδη
2. με την τετραγωνίζουσα
3. με την κογχοειδή του Νικομήδη.

Υπάρχουν βέβαια τεχνάσματα, όπως η σύνδεση της επιφάνειας κερατοειδούς τόρου με το πρώτο θεώρημα του Αρχιμήδη στο έργο του «Μέτρηση Κύκλου»

Ο «τετραγωνισμός του κύκλου» ως μεταφορά

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα διασημότερα μαθηματικά προβλήματα. Ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών, από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, έχουν αφιερώσει μεγάλο κομμάτι της εργασίας τους στην προσπάθεια να τετραγωνίσουν τον κύκλο.

Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η φράση «τετραγωνίζω τον κύκλο» να υιοθετηθεί και από την κουλτούρα των μη μυημένων στα μαθηματικά, ως συνώνυμη του «επιδιώκω το ακατόρθωτο / το καταδικασμένο σε αποτυχία». Στην ελληνική γλώσσα για παράδειγμα, η φράση «σιγά μην τετραγωνίσουμε και τον κύκλο» υποδηλώνει άρνηση συμμετοχής σε μια προσπάθεια που είναι από δύσκολο έως αδύνατο να οδηγήσει σε επιτυχία.

Δείτε επίσης

• Διπλασιασμός του κύβου
• π (μαθηματική σταθερά)

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Τρία Άλυτα Προβλήματα, άρθρο της Ελληνικής Μαθηματικής Πύλης για τον τετραγωνισμού του κύκλου και άλλα διάσημα μαθηματικά προβλήματα
• Τετραγωνισμός του κύκλου - Η λύση του Δεινόστρατου

Διαδραστικές εφαρμογές

• Τετραγωνισμός του κύκλου με κύλιση
• Τετραγωνισμός του κύκλου με κυκλοειδές
• Προσέγγιση στον τετραγωνισμό του κύκλου

Άρθρα

• Phillips, Tony (2011). «How Not to Square the Circle». AMS Feature Column. 
• Kasner, Edward (1933). «Squaring the Circle». The Scientific Monthly 37 (1): 67-71. https://www.jstor.org/stable/15685. 
• Wagon, S. (1981). Circle-squaring in the twentieth century. 3, σελ. 176–181. doi:10.1007/BF03022979. 
• Lord, Nick (2023). «107.08 An interesting equivalent of squaring the circle». The Mathematical Gazette 107 (568): 144 - 145. doi:10.1017/mag.2023.22. 
• Hallerbeg, Arthur E. (1978). «Squaring the circle - for fun and profit». The Mathematics Teacher 71 (4): 247-255. https://www.jstor.org/stable/27961241.