Τετραγωνική ρίζα του 3
![]() Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ίση με το μήκος της κάθετης στο ορθογώνιο τρίγωνο όπου η υποτείνουσα έχει μήκος 2 και η άλλη κάθετη μήκος 1. | |
Αναπαραστάσεις | |
---|---|
Δεκαδική | 1.7320508075688772... |
Συνεχές κλάσμα | |
Δυαδική | 1.1011101101100111... |
Δεκαεξαδική | 1.BB67AE8584CAA73B... |
Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με ή . Ονομάζεται ακριβέστερα η κύρια τετραγωνική ρίζα του 3 για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η σταθερά του Θεοδώρου, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.
Ως τις Ιουνίου 2024[update], η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 3 τρισεκατομμύρια ψηφία.[1] Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία:
Το κλάσμα (1.732142857...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από (περίπου , με σχετικό σφάλμα ). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, 1.732, έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.
Το κλάσμα ( 1.73205080756...) έχει σχετικό σφάλμα .
Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: .[2]
Το κατώτερο όριο είναι μια ακριβής προσέγγιση για το που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ) και το ανώτατο όριο διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ).
Σχέσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (ακολουθία A040001 στην OEIS).
Επόμενως, για τον πίνακα
- ,
ισχύει ότι, καθώς
- .
Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί με το γενικευμένο συνεχές κλάσμα όπως το
- ,
που είναι το [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] όπου υπολογίζεται σε κάθε δεύτερο όρο.
Γεωμετρία και τριγωνομετρία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Equilateral_triangle_with_height_square_root_of_3.svg/200px-Equilateral_triangle_with_height_square_root_of_3.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Root_3_Hexagon.svg/200px-Root_3_Hexagon.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Square_root_of_3_in_cube.svg/220px-Square_root_of_3_in_cube.svg.png)
Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά μήκους 2.
Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος και . Από αυτό, προκύπτουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί
- , και .
Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων[3] των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.
Επίσης σε ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρές μήκους 1, η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών είναι .
Στον μοναδιαίο κύβο το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με .
Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Δυναμική μηχανική
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).
Ειδικές συναρτήσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της ν-οστής παραγώγου της (όπου και είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης ) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί , που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της και της .[4]
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Yee, Alexander. «Records Set by y-cruncher».
- ↑ Knorr, Wilbur R. (June 1976). «Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation». Archive for History of Exact Sciences 15 (2): 115–140. doi: . MR 0497462. https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348496. Ανακτήθηκε στις November 15, 2022.
- ↑ Wiseman, Julian D. A. (Ιουνίου 2008). «Sin and Cos in Surds». JDAWiseman.com. Ανακτήθηκε στις 15 Νοεμβρίου 2022.
- ↑ Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995). «Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 18 (3): 551–560. doi: .