Ταχύτητα

Ως ταχύτητα ενός σώματος ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του ως προς το χρόνο, όπως αυτή μετράται σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων. Στην κινηματική, είναι μέγεθος διανυσματικό, δηλαδή χαρακτηρίζεται τόσο από το μέτρο (μέγεθος) της, όσο και από τη φορά (κατεύθυνση) της.

Συμβολισμός

Έχει καθιερωθεί να συμβολίζεται η ταχύτητα στην κινηματική με το λατινικό γράμμα "v", ενώ στα ελληνικά χρησιμοποιείται αρκετές φορές αντίστοιχα το γράμμα "υ"

Φυσική έκφραση (ή περιγραφή)

Εκφράζει φυσικά (ή περιγράφει) τον ρυθμό μεταβολής της θέσης ενός σώματος, δηλαδή πόσο διάστημα διανύει στη μονάδα του χρόνου. Η ταχύτητα διακρίνεται σε μέση ταχύτητα και σε στιγμιαία ταχύτητα. Ως μέση ταχύτητα (v) ενός σώματος κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος ορίζεται το πηλίκο της απόστασης (d) που διανύθηκε προς το χρονικό διάστημα (t) που χρειάστηκε για τη μετατόπιση, ενώ ως φορά της ταχύτητας ορίζεται η φορά αυτής της μετατόπισης:

$v={\frac {d}{t}}$

Η στιγμιαία ταχύτητα θεωρείται ως η ταχύτητα ενός σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Ορίζεται ως το όριο της μέσης ταχύτητας του σώματος σε χρονικά διαστήματα ολοένα και πιο μικρά γύρω από τη δεδομένη χρονική στιγμή. Καθώς το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, η ταχύτητα τείνει σε μια τιμή που ορίζεται ως η στιγμιαία ταχύτητα κατά τη χρονική στιγμή t.

Η ταχύτητα ενός σώματος μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται είτε το μέτρο της ταχύτητας (το σώμα κινείται γρηγορότερα ή αργότερα) είτε η φορά της (το σώμα "στρίβει" και αλλάζει κατεύθυνση). Λέμε τότε ότι το σώμα επιταχύνεται. Στην περίπτωση που το σώμα αυξάνει την ταχύτητά του με σταθερό ρυθμό τότε η επιτάχυνσή του δίνεται από τον τύπο:

$a={\frac {v}{t}}$

όπου ως α ορίζουμε την επιτάχυνση του σώματος (που είναι διανυσματικό φυσικό μέγεθος) και ο τύπος αυτός ισχύει και στην περίπτωση της επιβραδυνόμενης κίνησης.

Σύμφωνα με την αρχή της αδράνειας, η ταχύτητα ενός σώματος που δεν δέχεται καμιά επίδραση παραμένει σταθερή.

Μαθηματική περιγραφή

Κατά τη μελέτη της κινηματικής, θεωρούμε το σώμα υλικό σημείο, δηλαδή υποθέτουμε ότι μπορούμε να αγνοήσουμε τις διαστάσεις του στην περιγραφή της κίνησής του. Η θέση του σώματος τότε δίνεται από το διάνυσμα θέσης x(t) του σημείου κατά τη χρονική στιγμή t. Καθώς το σημείο διαγράφει την τροχιά του, το διάνυσμα θέσης μεταβάλλεται κατά Δx σε χρονικό διάστημα Δt. Το όριο του πηλίκου Δx/Δt, καθώς το Δt τείνει στο μηδέν ορίζεται ως η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος κατά τη χρονική στιγμή t:

$v={\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta x \over \Delta t}$

Σύμφωνα με τη μαθηματική ορολογία, λέμε ότι η ταχύτητα είναι η παράγωγος του διανύσματος θέσης ως προς το χρόνο. Αν παραστήσουμε γεωμετρικά την τροχιά ως καμπύλη στο χώρο, το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στην τροχιά στο δεδομένο σημείο.

Αντίστοιχα, η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας με το χρόνο μας δίνει το διάνυσμα της επιτάχυνσης a του υλικού σημείου:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}$

Σύνθεση κινήσεων

Συχνά η κίνηση ενός σώματος είναι αρκετά περίπλοκη, σε σχέση με τους παραπάνω ορισμούς. Η τεχνική με την οποία μετασχηματίζουμε ένα πρόβλημα περίπλοκης κίνησης σε άθροισμα απλούστερων κινήσεων αποκαλείται υπέρθεση ή σύνθεση ταχυτήτων και στηρίζεται σε βασικές ιδιότητες των διανυσμάτων. Η περιγραφή της θέσης ενός σώματος στη φυσική γίνεται με τον ορισμό ενός διανυσματικού χώρου, ο οποίος είναι ο ίδιος με τον γνωστό ευκλείδειο γεωμετρικό χώρο, στον οποίο έχει επιλεγεί ένα σημείο ως αρχή και έχουν καθοριστεί τόσα μοναδιαία διανύσματα βάσης όσες είναι και οι διαστάσεις του προβλήματος που θέλουμε να περιγράψουμε.

Έτσι, η περιγραφή της θέσης ενός σημείου σε χώρο τριών διαστάσεων μπορεί να γίνει με ένα διάνυσμα θέσης ως:

$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {i}}+y(t){\hat {j}}+z(t){\hat {k}}$

όπου ${\hat {i}},\,{\hat {j}},\,{\hat {k}}$ τα τρία μοναδιαία διανύσματα του καρτεσιανού συστήματος αναφοράς και $x,\,y,\,z$ οι συντεταγμένες του σ' αυτό το σύστημα αναφοράς. Για ένα τέτοιο διάνυσμα, η ταχύτητα ορίζεται ως:

$\mathbf {v} (t)=\lim _{\Delta {t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} (t)}{\Delta {t}}}={\frac {d}{dt}}x(t){\hat {i}}+{\frac {d}{dt}}y(t){\hat {j}}+{\frac {d}{dt}}z(t){\hat {k}}=v_{x}(t){\hat {i}}+v_{y}(t){\hat {j}}+v_{z}(t){\hat {k}}$

όπου ο όρος $d/dt$ αποτελεί συντομογραφία του ορίου. Συχνά η παραπάνω τεχνική αποκαλείται αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων αλλά δεν είναι τίποτε περισσότερο από την γραμμική ανεξαρτησία των διανυσμάτων βάσης του διανυσματικού μας χώρου.

Μπορούμε όμως την θέση ενός σώματος να την περιγράψουμε ως άθροισμα περισσότερων από ένα διανυσμάτων, αν αυτό μας βοηθά στην απλοποίηση του προβλήματός μας. Έτσι θα είναι:

$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{1}(t)+\mathbf {r} _{2}(t)+....$

οπότε η ταχύτητά του περιγράφεται ως:

$\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} _{1}(t)+{\frac {d}{dt}}\mathbf {r} _{2}(t)+...$

Σε μια τέτοια ανάλυση, για κάθε όρο θέσης ισχύουν τα ίδια με τον αρχικό ορισμό, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε διανυσματικά τις θέσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις (επομένως και τις δυνάμεις) από τις επιμέρους κινήσεις ώστε να συνθέσουμε την τελική κινητική συμπεριφορά του σώματος. Η συνηθέστερη ανάλυση αφορά μια μεταφορική και μια περιστροφική κίνηση.

Μονάδα Μέτρησης

Στο σύστημα μονάδων S.I., η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας είναι το 1 μέτρο/δευτερόλεπτο, που συμβολίζεται:

1 m / s ( = 1 meter / second )

Δείτε επίσης

• Αρχική ταχύτητα
• Σχετική ταχύτητα
• Ταχύτητα διαφυγής
• Ταχύτητα πλοίου
• Ταχύτητα ανέμου
• Τροχιακή ταχύτητα