Γωνιακή επιτάχυνση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Κλασική Μηχανική
\vec{F} = {\mathrm{d}(m \vec{v}) \over \mathrm{d}t}
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Γωνιακή επιτάχυνση ονομάζουμε τον ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ενός σώματος. Μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτα στο τετράγωνο (Για το S.I. η μονάδα rad/s^2 έχει τις ίδιες φυσικές διαστάσεις με την s^{-2}). Συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα \alpha.

Μαθηματικός Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαθηματικά, η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως:

{\alpha} = \frac{d{\omega}}{dt} = \frac{d^2{\theta}}{dt^2},

όπου dθ η μεταβολή της γωνίας που αντιστοιχεί στο διαγραφόμενο τόξο και d\omega η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας. Η γωνιακή επιτάχυνση έχει λοιπόν τη φυσική σημασία του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας.

Εφαπτομενική και Κεντρομόλος επιτάχυνση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συχνά γίνεται σύγχυση μεταξύ εφαπτομενικής και κεντρομόλου επιτάχυνσης. Περιγράφοντας ένα σύστημα σε δύο διαστάσεις όχι με καρτεσιανές αλλά με πολικές συντεταγμένες, η θέση ενός σημείου καθορίζεται από την απόσταση r από την αρχή και την γωνία \theta σε σχέση με την διεύθυνση αναφοράς. Έτσι, η ταχύτητα ενός κινητού περιγράφεται από δύο συνιστώσες, μία κατά την διεύθυνση αύξησης της ακτίνας και μία κατά την διεύθυνση αύξησης της γωνίας:

\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt}r(t,\theta)\mathbf{e}_r + r(t,\theta)\frac{d}{dt}\theta(t)\mathbf{e}_\theta

όπου είναι: \frac{d}{dt}\theta(t) = \omega(t)

Η επιτάχυνση, ως χρονική παράγωγος της ταχύτητας γίνεται:

 \mathbf{a}(t) = \frac{d^2}{dt^2}r(t,\theta)\mathbf{e}_r + \frac{d}{dt}r(t,\theta)\frac{d}{dt}\theta(t)\mathbf{e}_\theta + r(t,\theta)\frac{d^2}{dt^2}\theta(t)\mathbf{e}_\theta

Για την κυκλική κίνηση, η ακτίνα r είναι σταθερή οπότε η παραπάνω γίνεται:

\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac  {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t){\mathbf  {e}}_{\theta }\,\Rightarrow \,\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac  {d}{dt}}\omega (t)

ενώ ο πρώτος όρος αναφέρεται στην επιτάχυνση που διατηρεί την ακτίνα σταθερή:

 \alpha_k = \frac{d^2}{dt^2}r(t,\theta)

η οποία είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση και δεν γράφεται ως διάνυσμα επειδή δεχόμαστε πως έχει πάντα κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Για ομαλή κυκλική κίνηση είναι d\theta/dt = \omega \,\Rightarrow\, \theta(t) = \omega{t} + \theta_0, από την οποία προκύπτει η σχέση για την κεντομόλο επιτάχυνση:

\alpha_k = r\omega^2 = v^2/r

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Physics - Raymond A. Serway, τόμος Ι
  • Φυσική θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Α΄ λυκείου, ΟΕΔΒ