Ροπή

Παράδειγμα εφαρμογής της ροπής. Το κλειδί περιστρέφεται ευκολότερα ασκώντας δύναμη στο σημείο Β, σε σχέση με το σημείο Α

Ροπή δυνάμεως ως προς σημείο είναι το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο προς το γινόμενο της δύναμης επί την (κάθετη) απόσταση της δύναμης από το σημείο. Κατά όμοιο τρόπο ροπή δυνάμεως ως προς άξονα είναι το διανυσματικό μέγεθος που έχει ως μέτρο το γινόμενο της δύναμης επί την (κάθετη) απόσταση της δύναμης από τον άξονα, και φορέα τον άξονα. Στην ουσία πρόκειται για ένα ψευδοδιάνυσμα που περιγράφει την ύπαρξη ή δημιουργία ζεύγους δυνάμεων. Η ροπή εκφράζεται σε newton επί μέτρα. Τα συνήθη σύμβολα που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση της ροπής είναι το ελληνικό πεζό τ στη Φυσική (αγγλικά torque: ροπή περιστροφής), το Μ στη Μηχανική (moment: ροπή σημείων), και το λατινικό G.

Για παράδειγμα όταν σπρώχνεται μια τεράστια καγκελόπορτα ασκείται σ' αυτή μια δύναμη σε κάποια απόσταση από τον άξονα περιστροφής της (ζεύγος δυνάμεων με το σημείο αντίδρασης/στήριξης, τον μεντεσέ). Έτσι η ασκούμενη δύναμη περιστρέφει την καγκελόπορτα και την κλείνει ή την ανοίγει. Η επίδραση είναι περισσότερο έντονη όσο πιο μακριά από τον άξονα περιστροφής βρίσκεται το σημείο εφαρμογής της δύναμης, και όσο πιο κάθετη είναι η δύναμη στην καγκελόπορτα.

Παρακάτω παρατίθενται μερικά από τα βασικά χαρακτηριστικά της ροπής:

• Χαρακτηρίζεται ανάλογα με το είδος της δύναμης που ασκείται, ή εκ του αντικειμένου στο οποίο ασκείται αυτή όπως: ηλεκτρική, μαγνητική, αδράνειας, μαγνητική ροπή ατόμου, ηλεκτρικού κυκλώματος κλπ.
• Είναι ανάλογη της ασκούμενης δύναμης, και της απόστασης της από το σημείο αντίδρασης (ή το εξεταζόμενο σημείο). Γραφικά (ανεξάρτητα δηλαδή από τα επιλεγμένα Μοναδιαία Μεγέθη) πάντα είναι πολλαπλάσια της δύναμης και είναι ίση με το εμβαδό που σχηματίζουν τα 2 διανύσματα. Και δύναται να είναι πολλές κλίμακες μεγαλύτερη από την κλίμακα της ασκούμενης δύναμης όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στη φράση του Αρχιμήδη: Δος μοι πα στω και τα γαν κινάσω.
• Όταν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής, οι προβολές των δυνάμεων που είναι παράλληλες στον άξονα, όπως και οι προβολές που περνάνε από τον άξονα δεν δίνουν περιστροφή. Δηλαδή αν αναλύσουμε τις δυνάμεις σε σύστημα συντεταγμένων όπου $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{z}$ οι προβολές που έχουν την κατεύθυνση του άξονα, $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{x}$ οι προβολές που τέμνουν τον άξονα, και $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{y}$ οι προβολές που είναι κάθετες στην απόσταση ${\boldsymbol {r}}$ , μόνο οι δυνάμεις στον y δίνουν περιστροφή. Γενικότερα, όταν δεν υπάρχει σταθερός άξονας αντίδρασης, τον άξονα περιστροφής περιγράφει το εξωτερικό γινόμενο, και λέμε ότι η ροπή είναι ανάλογη του sin θ που έχει το διάνυσμα της δύναμης με το διάνυσμα της απόστασης.

Η ροπή ορίζεται από τη (διανυσματική) σχέση

${\boldsymbol {M}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ =(r_{x}\mathbf {i} +r_{y}\mathbf {j} +r_{z}\mathbf {k} )\times (F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} )\$ $={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\r_{x}&r_{y}&r_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},$

όπου ${\boldsymbol {r}}$ η απόσταση από το εξεταζόμενο σημείο του σημείου εφαρμογής της δύναμης, και ${\boldsymbol {F}}$ η ασκούμενη δύναμη. Η φυσική σημασία της σχέσης ${\boldsymbol {\mathbf {r} }}\times \mathbf {F} \,\!$ είναι ότι ως ψευδοδιεύθυνση της ασκούμενης ροπής θεωρούμε εκείνη που είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματα ${\boldsymbol {r}}$ και ${\boldsymbol {F}}$, όπως ορίζει ο κανόνας του δεξιού χεριού.Σε σταθερό άξονα η περιστροφή (το ορατό αποτέλεσμα/torque) είναι η προβολή του διανύσματος της ροπής (moment) στον άξονα περιστροφής.

Ανάλογα με τον τρόπο που ορίζεται η δύναμη από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα, ορίζεται και η ροπή:

${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}\ ,$

όπου ${\boldsymbol {I}}$ η ροπή αδράνειας του περιστρεφόμενου σώματος και ${\boldsymbol {a}}$ το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης.

Η ροπή στη θεωρητική μηχανική

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιο σώμα μάζας Μ, το οποίο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από έναν δεδομένο άξονα. Αν θεωρήσουμε ότι το σώμα μάζας Μ είναι ένα τέλειο, ασυμπίεστο στερεό, τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι το σώμα αυτό αποτελείται από Ν «σωματίδια» μάζας m_i για το i-οστό σωματίδιο, τα οποία περιστρέφονται όλα με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, ενώ η απόσταση κάθε σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής, $r_{\perp }$, θα είναι πάντοτε σταθερή. Είναι βολικό για την παρακάτω ανάλυση να επιλέξουμε το σύστημα συντεταγμένων μας έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής και η διεύθυνση του άξονα να συμπίπτει με τον άξονα των z.

Η συνολική στροφορμή, L, του συστήματος των Ν σωματιδίων θα ισούται με:

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}{\boldsymbol {\ell }}_{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {v} _{i}$

Όμως, η ταχύτητα του i-οστού σωματιδίου ισούται με το εξωτερικό γινόμενο ω×r_i. Συνεπώς,

$\mathbf {L} ={\boldsymbol {\omega }}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{\perp ,i}=I{\boldsymbol {\omega }}$

Όπως ακριβώς ορίζεται η δύναμη στην περίπτωση των σημειακών μαζών ή των μεταφορικών κινήσεων ως ο ρυθμός μεταβολής, έτσι στις περιπτώσεις των στερεών σωμάτων η ροπή ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής. Δεδομένου λοιπόν ότι η κατανομή μάζας του στερεού παραμένει σταθερή,

${\boldsymbol {\tau }}\equiv {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\dot {\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}$

Ο παραπάνω ορισμός είναι τελείως ανάλογος με τον ορισμό που δόθηκε αρχικά. Αυτό γίνεται κατανοητό αν αναγνωρίσουμε ότι η στροφορμή ορίζεται βάσει της σχέσης L=r×p. Συνεπώς,

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {p} }}=\mathbf {v} \times (m\mathbf {v} )+\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

Βιβλιογραφία

• Τσίγκανος Κ. (2004), Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.
• R. Serway (1990), Φυσική Τόμος Ι - Μηχανική. Saunders College Publishing, Λονδίνο.

Δείτε επίσης

• Κάμψη
• Ροπή αδράνειας
• Ροπή ευστάθειας πλοίου
• Συστροφή