Παράδοξο της ακτογραμμής

Το παράδοξο της ακτογραμμής είναι η αντιφατική παρατήρηση ότι η ακτογραμμή μιας ηπειρωτικής περιοχής δεν έχει σαφώς καθορισμένο μήκος. Η παρατήρηση αυτή προκύπτει από τις ιδιότητες των ακτογραμμών που μοιάζουν με φράκταλ, δηλαδή από το γεγονός ότι μια ακτογραμμή έχει γενικά μια μορφοκλασματική διάσταση. Αν και το "παράδοξο του μήκους" είχε ήδη παρατηρηθεί από τον Χιούγκο Στάινχαους^[1], η πρώτη συστηματική μελέτη του φαινομένου αυτού πραγματοποιήθηκε από τον Λιούις Φράι Ρίτσαρντσον^[2]^[3] και αναπτύχθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ^[4]^[5].

Μήκος της ακτογραμμής ως πληροφορία για μια χώρα

Το μήκος της ακτογραμμής αναφέρεται μαζί με άλλα δεδομένα, όπως η επιφάνεια, το γεωγραφικό μήκος και πλάτος, για τη γεωγραφική περιγραφή μιας χώρας ή περιοχής. Μπορεί να είναι το απόλυτο μήκος της ακτογραμμής ή η σχέση της με άλλες τιμές, όπως το μήκος των χερσαίων συνόρων της χώρας.

Ο Αλεξάντερ φον Χούμπολντ όρισε την αναλογία μεταξύ του μήκους των ακτών και της επιφάνειας των ηπείρων ως μέτρο της οριζόντιας διαίρεσης των χερσαίων μαζών. Θεωρούσε ότι η μεγαλύτερη επαφή με τη θάλασσα ήταν ο καλύτερος τρόπος ανάπτυξης μιας χώρας για το θαλάσσιο εμπόριο. Ο λόγος αυτός είναι ιδιαίτερα υψηλός για την Ευρώπη λόγω του υψηλού βαθμού θρυμματισμού της και ιδιαίτερα χαμηλός για τη συμπαγή Αφρική^[6] .

Επιλεγμένα μήκη ακτογραμμής

Το World Factbook^[7] εκτιμά το συνολικό μήκος της παγκόσμιας ακτογραμμής σε 356.000 χλμ., συμπεριλαμβανομένων των ακτών όλων των ηπείρων και των νησιών.

Ορισμένες χώρες έχουν πολύ μικρές ακτογραμμές σε σχέση με την επιφάνεια της επικράτειάς τους. Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται ορισμένες χώρες με ιδιαίτερα μικρές ακτογραμμές:

Κράτος	εθνική επικράτεια	μήκος ακτογραμμής	μήκος ακτογραμμής ανά km² εθνικής επικράτειας
Κονγκό	2.345.410 km²	40 km,0	0,017 m
Ιορδανία	0.089.342 km²	27 km,0	0,30 m0
Βοσνία και Ερζεγοβίνη	0.051.129 km²	24 km,0	0,47 m0
Τόγκο	0.056.785 km²	56 km,0	0,99 m0
Βέλγιο	0.030.528 km²	72,3 km	2,3 m00
Σλοβενία	0.020.273 km²	46,6 km	2,3 m00

Συγκριτικά, η Γαλλία έχει περίπου 6,3 μέτρα ακτογραμμής ανά τετραγωνικό χιλιόμετρο επιφάνειας, η Νορβηγία περίπου 65 μέτρα, το μικρό κράτος του Μονακό 2.081 μέτρα και το νησιωτικό κράτος των Μαλδίβων 2.161 μέτρα. Ωστόσο, ο λόγος μεταξύ του μήκους της ακτογραμμής και της επιφάνειας του κράτους δεν είναι πολύ κατάλληλος για την περιγραφή της θαλασσοκρατίας ενός κράτους, διότι για καθαρά μαθηματικούς λόγους, η επιφάνεια έχει μεγαλύτερο αντίκτυπο στα μεγαλύτερα κράτη. (Αυτό μπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτό αν πάρουμε ένα φανταστικό νησί σε σχήμα τετραγώνου με μήκος ορίου a : Η περίμετρός του είναι 4 a- μια δεκαπλάσια αύξηση του μήκους της ακμής οδηγεί επομένως και σε δεκαπλάσια αύξηση της συνολικής περιμέτρου ή ακτογραμμής. Από την άλλη πλευρά, η επιφάνεια του νησιού είναι a²- ο πολλαπλασιασμός του μήκους της ακμής επί δέκα οδηγεί επομένως σε εκατονταπλάσια αύξηση της επιφάνειας. Κατά συνέπεια, ο λόγος μεταξύ ακτογραμμής και επιφάνειας μειώνεται για ένα μεγαλύτερο νησί). Άλλοι παράγοντες παίζουν επίσης ρόλο, όπως η φύση της ακτογραμμής για τα φυσικά λιμάνια.

Δείτε επίσης: Κατάλογος χωρών ανά μήκος ακτογραμμής

Είναι αξιοσημείωτο ότι η Ελλάδα κατατάσσεται στη 11η θέση παγκοσμίως με μήκος 13.676 χιλιόμετρα και βρίσκεται κοντά στην ακτογραμμή της τεράστιας Κίνας με 14.500 χιλιόμετρα.

Μέτρηση του μήκους των ακτογραμμών

Η μέτρηση του μήκους ακανόνιστων γραμμών, όπως οι ακτές, βασίζεται στην αρχή ότι προσεγγίζονται από μια μετρήσιμη καμπύλη προσέγγισης. Μια πιθανή προσέγγιση για τον προσδιορισμό του μήκους είναι ο προσδιορισμός σημείων σε μια δεδομένη απόσταση $G$ στην ακτογραμμή με τη χρήση μιας πυξίδας που δείχνει. Από τον αριθμό των τμημάτων της ακτογραμμής που βρέθηκαν έτσι και ένα υπόλοιπο τμήμα, μπορούμε να δώσουμε μια προσέγγιση $L(G)$ του μήκους της ακτογραμμής. Εάν το $G$ είναι αρκετά μικρό, αυτό το μήκος ακτογραμμής είναι ανεξάρτητο από το άκρο της ακτογραμμής στο οποίο αρχίζει η μέτρηση.

Λεπτομερείς μετρήσεις του μήκους των ακτογραμμών της Μεγάλης Βρετανίας με ευθύγραμμα τμήματα μέτρησης διαφορετικού μήκους
Ευθεία τμήματα μέτρησης μήκους 200 km.
Συνολικό μήκος περίπου 2350 km.
Ευθεία τμήματα μέτρησης μήκους 100 km.
Συνολικό μήκος περίπου 2775 km.
Ευθεία τμήματα μέτρησης μήκους 50 km.
Συνολικό μήκος περίπου 3425 km.

Καθώς οι χάρτες που χρησιμοποιούνται δεν μπορούν να απεικονίσουν κάθε λεπτομέρεια της ακτογραμμής σε συνάρτηση με την κλίμακα και η ακτογραμμή προσεγγίζεται με μια προσεγγιστική καμπύλη κατά τη μέτρηση, το αποτέλεσμα εξαρτάται από την κλίμακα του χάρτη και την απόσταση μεταξύ των σημείων $G$ . Το εκτιμώμενο μήκος της ακτογραμμής $L(G)$ , σε αντίθεση με τις ομαλές μαθηματικές καμπύλες, δεν συγκλίνει σε μια οριακή τιμή καθώς μειώνεται η $G$ , λόγω του πολύ ακανόνιστου σχήματος της ακτογραμμής, αλλά γίνεται αυθαίρετα μεγάλο εντός των ορίων σύγκρισης όταν γίνονται λεπτότερες μετρήσεις.

Ο Λιούις Φράι Ρίτσαρντσον παρατήρησε αυτό το χαρακτηριστικό όταν θέλησε να μελετήσει τη σχέση μεταξύ του μήκους των συνόρων μεταξύ δύο κρατών και της πιθανότητας τα κράτη αυτά να ξεκινήσουν πόλεμο μεταξύ τους. Παρατήρησε ότι τα δεδομένα σχετικά με το μήκος των συνόρων διέφεραν σημαντικά από τη μία πηγή στην άλλη. Σε εμπειρική έρευνα, διαπίστωσε ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων $G$ και του μήκους της ακτογραμμής $L(G)$ προσδιορίζοντας έτσι τη σχέση $L(G)=F\,G^{1-D}$ με θετικό παράγοντα το $F$ και σταθερά το $D$ , η τιμή του οποίου είναι τουλάχιστον 1 και είναι χαρακτηριστική των συνόρων ή της ακτογραμμής. Για μια ευθεία γραμμή, $D=1$ , οπότε το μετρούμενο μήκος είναι ανεξάρτητο από το $G$ . Όσο πιο ακανόνιστη είναι η ακτογραμμή, τόσο μεγαλύτερο είναι το $D$ . Για την πολύ ακανόνιστη δυτική ακτή της Αγγλίας, ο Richardson βρήκε την τιμή $D=1{,}25$ , d. h. δηλαδή διαιρώντας το $G$ δια δύο, το $L(G)$ είναι περίπου $1{,}19$ μεγαλύτερο.

Σύγκριση με φράκταλ

Τη δεκαετία του 1960, ο Μπενουά Μάντελμπροτ επικεντρώθηκε στην αυτοομοιότητα και στις μορφοκλασματικές καμπύλες. Στις καμπύλες αυτές αποδίδεται επίσης μια μη ακέραια διάσταση, όπως η διάσταση Χάουσντορφ. Σε ένα δοκίμιο του Λιούις Φράι Ρίτσαρντσον^[8] σχετικά με τη μέτρηση του μήκους της ακτογραμμής, ο Μάντελμπροτ ανακάλυψε ομοιότητες με τις αυτοομοειδείς καμπύλες^[9]. Ο Μάντελμπροτ βρήκε μια περαιτέρω αναφορά αυτού του γεγονότος στο έργο του Ζαν-Μπατίστ Περέν^[10].

Το 1967 δημοσίευσε το άρθρο How Long Is the Coast of Britain? (ελληνικά: Πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Βρετανίας;), στο οποίο σύγκρινε τις ακτογραμμές με αυτοομοειδείς μορφοκλασματικές καμπύλες. Έδειξε ότι η σταθερά $D$ που βρέθηκε εμπειρικά από τον Ρίτσαρντσον είναι συγκρίσιμη με τη διάσταση των αυτο-ομοειδών καμπυλών κατά τον προσδιορισμό των μηκών των ακτογραμμών, και έτσι περιέγραψε μια πιθανή εφαρμογή των φράκταλ. Καθώς η αυστηρή αυτο-ομοιότητα των κατασκευασμένων καμπυλών, όπως η Νιφάδα του Κοχ, δεν ισχύει για τις ακτογραμμές, ο Μάντελμπροτ ονόμασε αυτή τη γεωγραφική καμπύλη στατιστικά αυτο-ομοιογενή ή τυχαία αυτο-ομοιογενή σχήμα.

Στο άρθρο που δημοσιεύτηκε το 1967, ο Μάντελμπροτ δεν χρησιμοποιεί ακόμη τον όρο φράκταλ, αλλά μιλάει μόνο για μορφοκλασματικές διαστάσεις.

Ο Ούγκο Στάινχαους είχε ήδη διαπιστώσει μια σύνδεση μεταξύ της ακρίβειας που εφαρμόζεται στη μέτρηση των μηκών πολύ ακανόνιστων καμπυλών και του μήκους που προσδιορίστηκε για το μήκος της δυτικής όχθης του Βιστούλα το 1954^[11], αλλά οι σκέψεις αυτές έτυχαν λιγότερης προσοχής^[8].

Όρια της σύγκρισης

Ο Μάντελμπροτ χρησιμοποίησε το πρόβλημα του προσδιορισμού του μήκους των ακτών μόνο ως αφετηρία για να δείξει μια πιθανή εφαρμογή των φράκταλ. Ωστόσο, πολλοί μη επιστήμονες είδαν στο άρθρο μια απόδειξη ότι το μήκος της ακτογραμμής γίνεται αυθαίρετα μεγάλο αν προσδιοριστεί με αρκετή ακρίβεια^[8].

Ο εμπειρικός τύπος που βρήκε ο Ρίτσαρντσον ισχύει για την περιοχή που ανέλυσε. Σε αυτό το εύρος κλίμακας, οι ακτογραμμές συμπεριφέρονται σαν φράκταλ. Ωστόσο, ο τύπος δεν μπορεί να προεκταθεί σε αυθαίρετα μικρές σημειακές αποστάσεις και λεπτές μετρήσεις χωρίς περαιτέρω επαλήθευση. Η εφαρμογή του τύπου με αυθαίρετα μεγάλη ακρίβεια δεν έχει νόημα στον πραγματικό κόσμο, καθώς ο ορισμός της ακτογραμμής δεν μπορεί να προσδιοριστεί με αυθαίρετη ακρίβεια λόγω της μεταβαλλόμενης στάθμης των υδάτων.

Στη φύση, η αυτοομοιότητα των δομών ισχύει μόνο για έναν περιορισμένο αριθμό επιπέδων και όχι για απείρως μικρές δομές:^[11] Εκτός από θεωρητικές εκτιμήσεις, αυτό ισχύει και σε καθαρά τεχνικούς όρους: το αργότερο στην περιοχή των μεμονωμένων μικρότερων βράχων και πετρών, δεν είναι πλέον δυνατόν να μιλάμε για "ακτή" ή " ακρογιάλι" για την ίσαλο γραμμή τους, και το γεωγραφικό ενδιαφέρον σε τέτοια αντικείμενα (γεωγραφικά σχετικές κλίμακες) χάνεται συνολικά. Επομένως, ο εμπειρικός τύπος του Ρίτσαρντσον δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συμπεραίνουμε ότι οι ακτογραμμές έχουν άπειρο μήκος σε σχέση με μια καθορισμένη κανονική στάθμη υδάτων.

Επιπλέον, προστίθεται το πρόβλημα της διάβρωσης και της μετατόπισης της άμμου, τα οποία μαζί αντιπροσωπεύουν ένα σημαντικό ποσοστό του μήκους των ακτών, με αποτέλεσμα η ακρίβεια να εξαρτάται όλο και περισσότερο από το χρόνο. Πάνω από μια ορισμένη ακρίβεια μέτρησης, η τιμή θα ξεπερνιόταν γρηγορότερα από ό,τι θα μπορούσε να καταγραφεί. Αυτό περιορίζει επίσης την τεχνική χρησιμότητα του μορφοκλασματικού προτύπου.

Βιβλιογραφία

Benoît Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. In: Science, 156, 5. Mai 1967, S. 636–638; (math.yale.edu Αρχειοθετήθηκε 2010-06-22 στο Wayback Machine. (PDF; 32 kB); englisch).
Benoît Mandelbrot: Fractals: Form, chance, and dimension. W.H. Freeman and Company, San Francisco 1977, ISBN 978-0-7167-0473-7.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Steinhaus, Hugo (1954). «Length, shape and area». Colloquium Mathematicum 3 (1): 1–13. doi:10.4064/cm-3-1-1-13. «"The left bank of the Vistula, when measured with increased precision would furnish lengths ten, hundred and even thousand times as great as the length read off the school map. A statement nearly adequate to reality would be to call most arcs encountered in nature not rectifiable."».
↑ Vulpiani, Angelo (2014). «Lewis Fry Richardson: scientist, visionary and pacifist». Lettera Matematica 2 (3): 121–128. doi:10.1007/s40329-014-0063-z.
MR 3344519
.
↑ Richardson, L. F. (1961). «The problem of contiguity: An appendix to statistics of deadly quarrels». General Systems Yearbook. 6. σελίδες 139–187.
↑ Mandelbrot, B. (1967). «How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension». Science 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. Bibcode: 1967Sci...156..636M. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2021-10-19. https://web.archive.org/web/20211019193011/http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Ανακτήθηκε στις 2021-05-21.
↑ Mandelbrot, Benoit (1983). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Co. σελίδες 25–33. ISBN 978-0-7167-1186-5.
↑ «retro|bib - Seite aus Meyers Konversationslexikon: Erde (Verteilung von Festland und Wasser, horizontale und vertikale Gliederung)». www.retrobibliothek.de. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.
↑ «The World Factbook — Central Intelligence Agency». web.archive.org. 16 Ιουλίου 2017. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Ιουλίου 2017. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 Lewis Fry Richardson: The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels. General Systems Yearbook 6, 1961, S. 139–187.
↑ «Wayback Machine» (PDF). web.archive.org. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 22 Ιουνίου 2010. Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2023.
↑ Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag, Basel 1987, S. 39.
↑ ^11,0 ^11,1 Hugo Steinhaus: Length, shape and area. Colloquium Mathematicum 3, S. 1–13.

[1] Steinhaus, Hugo (1954). «Length, shape and area». Colloquium Mathematicum 3 (1): 1–13. doi:10.4064/cm-3-1-1-13. «"The left bank of the Vistula, when measured with increased precision would furnish lengths ten, hundred and even thousand times as great as the length read off the school map. A statement nearly adequate to reality would be to call most arcs encountered in nature not rectifiable."».

[2] Vulpiani, Angelo (2014). «Lewis Fry Richardson: scientist, visionary and pacifist». Lettera Matematica 2 (3): 121–128. doi:10.1007/s40329-014-0063-z.
MR 3344519
.

[3] Richardson, L. F. (1961). «The problem of contiguity: An appendix to statistics of deadly quarrels». General Systems Yearbook. 6. σελίδες 139–187.

[4] Mandelbrot, B. (1967). «How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension». Science 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. Bibcode: 1967Sci...156..636M. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2021-10-19. https://web.archive.org/web/20211019193011/http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Ανακτήθηκε στις 2021-05-21.

[mandelbrot-5] Mandelbrot, Benoit (1983). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Co. σελίδες 25–33. ISBN 978-0-7167-1186-5.

[6] «retro|bib - Seite aus Meyers Konversationslexikon: Erde (Verteilung von Festland und Wasser, horizontale und vertikale Gliederung)». www.retrobibliothek.de. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.

[7] «The World Factbook — Central Intelligence Agency». web.archive.org. 16 Ιουλίου 2017. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Ιουλίου 2017. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.

[:0-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 Lewis Fry Richardson: The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels. General Systems Yearbook 6, 1961, S. 139–187.

[9] «Wayback Machine» (PDF). web.archive.org. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 22 Ιουνίου 2010. Ανακτήθηκε στις 9 Νοεμβρίου 2023.

[10] Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag, Basel 1987, S. 39.

[:1-11] 11,0 ^11,1 Hugo Steinhaus: Length, shape and area. Colloquium Mathematicum 3, S. 1–13.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]