Καμπύλη πλήρωσης χώρου

Στη μαθηματική ανάλυση, με τον όρο καμπύλη πλήρωσης χώρου (ή αλλιώς καμπύλη που γεμίζει τον χώρο) αναφερόμαστε σε καμπύλες που το σύνολο τιμών τους είναι ολόκληρο το μοναδιαίο τετράγωνο $[0,1]^{2}$ (ή ολόκληρος ο υπερκύβος $[0,1]^{n}$ ). Πολλές φορές αυτές οι καμπύλες αναφέρονται και ως καμπύλες Πεάνο, επειδή ο Τζιουζέπε Πεάνο ήταν ο πρώτος μαθηματικός που ανακάλυψε μια τέτοια καμπύλη (παρότι και ο Ντάβιντ Χίλμπερτ είχε αναφερθεί σε παρόμοιες κατασκευές).

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικά, μια συνεχής καμπύλη σε έναν χώρο 2, 3 ή περισσότερων διαστάσεων αποτελεί ένα μονοπάτι ενός σημείου που κινείται με συνεχή τρόπο. Ο επίσημος μαθηματικός ορισμός (ο οποίος εξαλείφει την αοριστία της προηγούμενης φράσης) είναι ο παρακάτω (Τζόρνταν 1887):

Μια καμπύλη (με σημεία που υποδηλώνουν την αρχή και το τέλος) είναι μια συνεχής συνάρτηση $r:[0,1]\longrightarrow X$ , όπου ο χώρος $X$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τοπολογικός χώρος.

Συνήθως, ο χώρος $X$ αναφέρεται σε Ευκλείδειους χώρους όπως ο $R^{2}$ (επίπεδη καμπύλη) ή ο $R^{3}$ (καμπύλη στο χώρο). Πολύ συχνά με τον όρο καμπύλη αναφερόμαστε στην εικόνα της αντίστοιχης συνάρτησης, δηλαδή στο σύνολο όλων των δυνατών τιμών (σημείων) που μπορεί να πάρει η συνάρτηση. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε και καμπύλες χωρίς αρχικό ή τελικό σημείο (π.χ. καμπύλες που εκτείνονται στο άπειρο) αν θεωρήσουμε ως πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο $(0,1)$ ή ολόκληρο το $R$ .

Μια καμπύλη που γεμίζει το μοναδιαίο τετράγωνο του επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής ${\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{2}$ . Γενικότερα, μια καμπύλη που γεμίζει τον μοναδιαίο υπερκύβο, αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής ${\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{n}$ .

Ιστορικό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πρώτη καμπύλη με την ιδιότητα να γεμίζει το χώρο ανακαλύφθηκε το 1890 από τον Τζιουζέπε Πεάνο.^[1] Η καμπύλη αυτή ονομάζεται συνήθως καμπύλη Πεάνο προς τιμήν του μαθηματικού. Σκοπός του Πεάνο ήταν να αποδείξει ότι τα σύνολα $[0,1]$ και $[0,1]^{2}$ περιέχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, κάτι που ήδη είχε αποδείξει ο Γκέοργκ Κάντορ. Ο Πεάνο όμως απέδειξε ότι μπορεί να υπάρξει συνεχής και επί απεικόνιση μεταξύ των δύο χώρων. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι 1-1 και μάλιστα δεν μπορεί να υπάρξει συνεχής, επί και 1-1 απεικόνιση μεταξύ του $[0,1]$ και του $[0,1]^{2}$ .Το αρχικό άρθρο του Πεάνο δεν περιείχε κάποια εικόνα της κατασκευής. Ο Πεάνο είχε δώσει έμφαση στη σωστή μαθηματική αναπαράσταση και στις αποδείξεις των ιδιοτήτων της καμπύλης. Ένα χρόνο αργότερα ο Νταβίντ Χίλμπερτ δημοσίευσε ^[2] μια άλλη καμπύλη που γεμίζει το $[0,1]^{2}$ βασισμένος σε μια παραλλαγή της ιδέας του Πεάνο. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται σήμερα καμπύλη Χίλμπερτ.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως αποδείχθηκε αργότερα οι καμπύλες που γεμίζουν το χώρο είναι φράκταλ.^[3] Συνήθως οι καμπύλες αυτές δίνονται ως τα όρια συγκεκριμένων ακολουθιών από πολυγωνικές γραμμές.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Peano, G. (1890-03-01). «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane» (στα γαλλικά). Mathematische Annalen 36 (1): 157–160. doi:10.1007/BF01199438. ISSN 0025-5831. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199438.
↑ Hilbert, David (1891-09-01). «Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück» (στα γερμανικά). Mathematische Annalen 38 (3): 459–460. doi:10.1007/BF01199431. ISSN 0025-5831. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199431.
↑ Barnsley, Michael (1 Ιανουαρίου 1998). Fractals everywhere. AP Professional. ISBN 0120790610. 247668425.

[1] Peano, G. (1890-03-01). «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane» (στα γαλλικά). Mathematische Annalen 36 (1): 157–160. doi:10.1007/BF01199438. ISSN 0025-5831. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199438.

[2] Hilbert, David (1891-09-01). «Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück» (στα γερμανικά). Mathematische Annalen 38 (3): 459–460. doi:10.1007/BF01199431. ISSN 0025-5831. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199431.

[3] Barnsley, Michael (1 Ιανουαρίου 1998). Fractals everywhere. AP Professional. ISBN 0120790610. 247668425.

[1]

[2]

[3]