Τετραεδρικός αριθμός
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Pyramid_of_35_spheres_animation.gif)
Ένας τετραεδρικός αριθμός ή τριγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια πυραμίδα με τριγωνική βάση και τρεις πλευρές, δηλαδή ένα τετράεδρο. Ο n-οστός τετραεδρικός αριθμός, Ten, είναι το άθροισμα των πρώτων n τριγωνικών αριθμών, δηλαδή:
Οι τετραεδρικοί αριθμοί είναι:
Τύπος
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ο τύπος για τον n-οστό τετραεδρικό αριθμό μπορεί να γραφτεί και ως εξής:
Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως διωνυμικοί συντελεστές:
Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν επομένως να βρεθούν στην τέταρτη θέση είτε από αριστερά είτε από δεξιά στο τρίγωνο του Πασκάλ.
Αποδείξεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αυτή η απόδειξη χρησιμοποιεί το γεγονός ότι ο n-οστός τριγωνικός αριθμός δίνεται από τον τύπο:
Αποδεικνύεται με επαγωγή.
- Βασικό βήμα:
- Επαγωγικό βήμα:
Αναδρομική σχέση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Οι τετραεδρικοί και οι τριγωνικοί αριθμοί συσχετίζονται μέσω των αναδρομικών τύπων:
Η εξίσωση γίνεται
Αντικαθιστώντας το στη θέση του στην εξίσωση έχουμε:
Έτσι, o -οστός τετραεδρικός αριθμός ικανοποιεί την ακόλουθη αναδρομική εξίσωση:
Γενίκευση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το μοτίβο που βρέθηκε για τους τριγωνικούς αριθμούς, , και για τους τετραεδρικούς αριθμούς, , μπορεί να γενικευτεί. Αυτό οδηγεί στον ακόλουθο τύπο:[1]
Γεωμετρική ερμηνεία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Οι τετραεδρικοί αριθμοί μπορούν να μοντελοποιηθούν με την στοίβαξη σφαιρών. Για παράδειγμα, ο πέμπτος τετραεδρικός αριθμός (Te5 = 35) μπορεί να φτιαχτεί με 35 μπάλες και ένα κανονικό τρίγωνο μπιλιάρδου στο οποίο χωράνε 15 μπάλες. Στη συνέχεια, 10 ακόμη μπάλες στοιβάζονται πάνω από αυτές, μετά άλλες 6, μετά άλλες τρεις και τέλος μία μπάλα στην κορυφή για να γίνει το τετράεδρο.
Τετραεδρικές ρίζες και τέστ για τετραεδρικούς αριθμούς
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Κατ' αναλογία με την κυβική ρίζα του x, μπορούμε να ορίσουμε την (πραγματική) τετραεδρική ρίζα του x ως τον αριθμό n, έτσι ώστε Ten = x:
που προκύπτει από τον τύπο του Καρντάνο. Ισοδύναμα, αν η πραγματική τετραεδρική ρίζα n του x είναι ακέραιος, τότε το x είναι ο n-οστός τετραεδρικός αριθμός.
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Ten + Ten−1 = 12 + 22 + 32 ... + n2, οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί.
- Te2n+1 = 12 + 32 ... + (2n+1)2, το άθροισμα των περιττών τετραγώνων.
- Te2n = 22 + 42 ... + (2n)2, το άθροισμα των άρτιων τετραγώνων.
- Ο A. J. Meyl απέδειξε το 1878 ότι μόνο τρεις τετραεδρικοί αριθμοί είναι επίσης τέλεια τετράγωνα, συγκεκριμένα:
- Te1 = 12 = 1
- Te2 = 22 = 4
- Te48 = 1402 = 19600.
- Η εικασία του Sir Frederick Pollock λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι το άθροισμα το πολύ 5 τετραεδρικών αριθμών.
- Ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης και τετραγωνικός πυραμιδικός αριθμός είναι το 1 (Beukers, 1988) και ο μόνος τετραεδρικός αριθμός που είναι επίσης τέλειος κύβος είναι το 1.
- Το άπειρο άθροισμα των αντίστροφων τετραεδρικών αριθμών ισούται με 32, το οποίο μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας μια τηλεσκοπική σειρά:
- Οι τετραεδρικοί αριθμοί ακολουθούν το ακόλουθο επαναλαμβανόμενο μοτίβο: περιττός-άρτιος-άρτιος-άρτιος.
- Παρατηρούμε στους τετραεδρικούς αριθμούς ότι:
- Te5 = Te4 + Te3 + Te2 + Te1
- Οι αριθμοί που είναι και τριγωνικοί και τετραεδρικοί πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του διωνυμικού συντελεστή:
- Οι μόνοι αριθμοί που είναι ταυτόχρονα και τετραεδρικοί και τριγωνικοί είναι (ακολουθία A027568 στην OEIS):
- Te1 = T1 = 1
- Te3 = T4 = 10
- Te8 = T15 = 120
- Te20 = T55 = 1540
- Te34 = T119 = 7140
- Ten είναι το άθροισμα όλων των γινομένων p × q, όπου (p, q) είναι διατεταγμένα ζεύγη και p + q = n + 1.
- Ο μεγαλύτερος τετραεδρικός αριθμός της μορφής , με a και b να είναι ακέραιοι, είναι το 8436.
Αναφορές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). «Die k-dimensionale Champagnerpyramide» (στα γερμανικά). Mathematische Semesterberichte 66: 89–100. doi: . ISSN 1432-1815. https://epub.uni-bayreuth.de/3850/1/Baumann_Champagnerpyramide.pdf.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Weisstein, Eric W., "Tetrahedral Number" από το MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.