Συζυγής πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ο συζυγής του είναι ο πίνακας ${\overline {A}}$ διαστάσεων $n\times m$ με $({\overline {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}$ για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$. Δηλαδή,

${\overline {A}}={\begin{bmatrix}{\overline {A_{11}}}&{\overline {A_{12}}}&\ldots &{\overline {A_{1m}}}\\{\overline {A_{21}}}&{\overline {A_{22}}}&\ldots &{\overline {A_{2m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A_{n1}}}&{\overline {A_{n2}}}&\ldots &{\overline {A_{nm}}}\end{bmatrix}}$

Για παράδειγμα, ο συζυγής του $A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}$ είναι ο ${\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&5\\(1+4i)&(7-2i)\end{bmatrix}}$.

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:

$A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(7+3i)&-5i\\(9+2i)&10&(6+5i)\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {B}}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(3+4i)\\(4+8i)&(5-3i)\\(1-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {C}}={\begin{bmatrix}(-5-7i)&(8-2i)&(1+i)\end{bmatrix}}$

• Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα $A$ είναι ο ίδιος ο πίνακας $A$, δηλαδή ${\overline {A}}=A$. Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα $\mathbf {0} _{n\times m}$ και τον ταυτοτικό πίνακα $I$, ισχύει ${\overline {\mathbf {0} _{n\times m}}}=\mathbf {0} _{n\times m}$ και ${\overline {I}}=I$.
• Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα $A$ είναι ο αντίθετός του $-A$, δηλαδή ${\overline {A}}=-A$. Για παράδειγμα,

$A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}-3i&6i\\-7i&-4i\end{bmatrix}}$

Ιδιότητες

• Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το άθροισμα των συζυγών, ${\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$.

Απόδειξη  

Έστω δύο μιγαδικοί πίνακες $A$ και $B$ διαστάσεων $n\times m$. Τότε για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$, ισχύει ότι

$({\overline {A+B}})_{ij}={\overline {(A+B)_{ij}}}={\overline {A_{ij}+B_{ij}}}={\overline {A_{ij}}}+{\overline {B_{ij}}}=({\overline {A}})_{ij}+({\overline {B}})_{ij}$.

• Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα $A$ με έναν μιγαδικό αριθμό $c\in \mathbb {C}$, ${\overline {cA}}={\overline {c}}{\overline {A}}$.

Απόδειξη  

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας $A$ διαστάσεων $n\times m$. Τότε για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$, ισχύει ότι

$({\overline {cA}})_{ij}={\overline {(cA)_{ij}}}={\overline {cA_{ij}}}={\overline {c}}{\overline {A_{ij}}}={\overline {c}}{\overline {A}}_{ij}$.

Επομένως, ${\overline {cA}}={\overline {c}}{\overline {A}}$.

• Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το γινόμενο των συζυγών, ${\overline {AB}}={\overline {A}}{\overline {B}}$.

Απόδειξη  

Έστω $A$ ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων $n\times k$ και $B$ διαστάσεων $k\times m$. Τότε για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$, ισχύει ότι

$({\overline {AB}})_{ij}={\overline {\sum _{\ell =1}^{k}A_{i\ell }B_{\ell j}}}=\sum _{\ell =1}^{k}{\overline {A_{i\ell }B_{\ell j}}}=\sum _{\ell =1}^{k}{\overline {A_{i\ell }}}{\overline {B_{\ell j}}}=\sum _{\ell =1}^{k}({\overline {A}})_{i\ell }({\overline {B}})_{\ell j}=({\overline {A}}{\overline {B}})_{ij}$.

• Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, ${\overline {\overline {A}}}=A$.

Απόδειξη  

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας $A$ διαστάσεων $n\times m$. Τότε για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$, ισχύει ότι

$({\overline {\overline {A}}})_{ij}={\overline {({\overline {A}})_{ij}}}={\overline {\overline {A_{ij}}}}=A_{ij}.$

• Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, ${\overline {A^{T}}}=({\overline {A}})^{T}$.

Απόδειξη  

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας $A$ διαστάσεων $n\times m$. Τότε για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$, ισχύει ότι

$({\overline {A^{T}}})_{ij}={\overline {(A^{T})_{ij}}}={\overline {A_{ji}}}=({\overline {A}})_{ji}=(({\overline {A}})^{T})_{ij}$.

Επομένως, ${\overline {A^{T}}}=({\overline {A}})^{T}$.

• Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι $\operatorname {tr} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}$.

Απόδειξη  

Έστω ένας μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας $A$. Τότε, από την ιδιότητα των συζυγών μιγαδικών αριθμών ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$, έχουμε ότι

$\operatorname {tr} ({\overline {A}})=\sum _{i=1}^{n}{\overline {A}}_{ii}=\sum _{i=1}^{n}{\overline {A_{ii}}}={\overline {\sum _{i=1}^{n}A_{ii}}}={\overline {\operatorname {tr} (A)}}$.

• Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, ${\overline {A^{-1}}}=({\overline {A}})^{-1}$.

Απόδειξη  

Έστω ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός πίνακας $A$ και ο αντίστροφός του $A^{-1}$, δηλαδή $AA^{-1}=I$ για τον ταυτοτικό πίνακα $I$. Παίρνοντας τον συζυγή και στα δύο μέλη και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του γινομένου και ότι ${\overline {I}}=I$, έχουμε ότι

$AA^{-1}=I\Rightarrow {\overline {A}}{\overline {A^{-1}}}={\overline {I}}=I.$

Επομένως, εξ'ορισμού ο ${\overline {A^{-1}}}$ είναι ο αντίστροφος του ${\overline {A}}$, δηλαδή ${\overline {A^{-1}}}=({\overline {A}})^{-1}$.

• Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή $\operatorname {det} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {det} (A)}}$.

Απόδειξη  

Από τον τύπο του Leibniz,

$\operatorname {det} ({\overline {A}})=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}({\overline {A}})_{i,\tau (i)}={\overline {\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\tau (i)}}}={\overline {\operatorname {det} (A)}}$,

χρησιμοποιώντας ότι ο συζυγής του γινομένου (αθροίσματος) μιγαδικών αριθμών είναι το γινόμενο (άθροισμα) των συζυγών μιγαδικών αριθμών.

Δείτε επίσης

• Συζυγής μιγαδικός αριθμός
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας