Πίνακας Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Συλβέστερ^[1] είναι ένας πίνακας που σχετίζεται με δύο μονομεταβλητά πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα σώμα ή έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Οι καταχωρήσεις του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων. Η ορίζουσα του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι η συνισταμένη^[2] τους, η οποία είναι μηδέν όταν τα δύο πολυώνυμα έχουν κοινή ρίζα (στην περίπτωση συντελεστών σε σώμα) ή μη σταθερό κοινό διαιρέτη (στην περίπτωση συντελεστών σε ένα σώμα).

Οι πίνακες Συλβέστερ πήραν το όνομά τους από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ.^[3]

Ορισμός

Έστω p και q δύο μη μηδενικά πολυώνυμα, αντίστοιχα βαθμού m και n. Συνεπώς:^[4]

p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.

Ο πίνακας Συλβέστερ που σχετίζεται με τα p και q είναι τότε ο $(n+m)\times (n+m)$ πίνακας που κατασκευάζεται ως εξής:

αν n > 0, η πρώτη σειρά είναι:

{\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.

η δεύτερη σειρά είναι η πρώτη σειρά, μετατοπισμένη κατά μία στήλη προς τα δεξιά- το πρώτο στοιχείο της σειράς είναι μηδέν.
οι επόμενες n − 2 σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, μετατοπίζοντας τους συντελεστές κατά μία στήλη προς τα δεξιά κάθε φορά και θέτοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς ως 0.
αν m > 0 η (n + 1)η γραμμή είναι:

{\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.

οι ακόλουθες σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.

Αν ένας από τους βαθμούς είναι μηδέν (δηλαδή το αντίστοιχο πολυώνυμο είναι ένα μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο), τότε υπάρχουν μηδενικές γραμμές που αποτελούνται από συντελεστές του άλλου πολυωνύμου και ο πίνακας Συλβέστερ είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης του βαθμού του μη σταθερού πολυωνύμου, με όλους τους διαγώνιους συντελεστές ίσους με το σταθερό πολυώνυμο. Αν m = n = 0, τότε ο πίνακας Συλβέστερ είναι ο άδειος πίνακας με μηδέν γραμμές και μηδέν στήλες.

Μία παραλλαγή

Ο παραπάνω πίνακας Συλβέστερ εμφανίζεται σε ένα δημοσίευμα του Συλβέστερ του 1840. Σε μια εργασία του 1853, ο Συλβέστερ εισήγαγε τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος είναι, μέχρι μια μετάθεση των γραμμών, ο πίνακας Συλβέστερ των p και q, οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν και οι δύο βαθμό max(m, n).^[5] Πρόκειται επομένως για έναν $2\max(n,m)\times 2\max(n,m)$ -πίνακα που περιέχει $\max(n,m)$ ζεύγη γραμμών. Υποθέτοντας $m>n,$ προκύπτει ως εξής:

το πρώτο ζεύγος είναι:

{\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.

το δεύτερο ζεύγος είναι το πρώτο ζεύγος, μετατοπισμένο κατά μία στήλη προς τα δεξιά- τα πρώτα στοιχεία στις δύο σειρές είναι μηδενικά.
τα υπόλοιπα $max(n,m)-2$ ζεύγη γραμμών προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

{\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.

Η ορίζουσα του πίνακα 1853 είναι, μέχρι το πρόσημο, το γινόμενο της ορίζουσας του πίνακα Συλβέστερ (η οποία ονομάζεται συνισταμένη των p και q) επί $p_{m}^{m-n}$ (υποθέτοντας ότι $m\geq n$ ).

Εφαρμογές

Αυτοί οι πίνακες χρησιμοποιούνται στην αντιμεταθετική άλγεβρα, π.χ. για να ελεγχθεί αν δύο πολυώνυμα έχουν έναν (μη σταθερό) κοινό παράγοντα. Σε μια τέτοια περίπτωση, η ορίζουσα του σχετικού πίνακα Συλβέστερ (ο οποίος ονομάζεται συνισταμένη των δύο πολυωνύμων) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.) ισούται με μηδέν^[6]. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.

Οι λύσεις των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων

{S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

όπου $x$ είναι ένα διάνυσμα μεγέθους $n$ και $y$ έχει μέγεθος $m$ , περιλαμβάνουν τα διανύσματα συντελεστών εκείνων και μόνο εκείνων των ζευγών $x,y$ πολυωνύμων (βαθμού $n-1$ και $m-1$ , αντίστοιχα) που ικανοποιούν

x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,

όπου χρησιμοποιείται πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του μετατοπισμένου πίνακα Συλβέστερ δίνει όλες τις λύσεις της εξίσωσης Μπεζού όπου $\deg x<\deg q$ και $\deg y<\deg p$ .

Συνεπώς, ο βαθμός του πίνακα Συλβέστερ καθορίζει τον βαθμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των p και q:

\deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.

Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη μπορούν να εκφραστούν ως Ορίζουσες υποπινάκων του πίνακα Συλβέστερ.

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001.
Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999. (ISBN 978-0521666466)
Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
Gell-Mann, Murray (1962-02-01). «Symmetries of Baryons and Mesons». Physical Review (American Physical Society (APS)) 125 (3): 1067–1084. doi:10.1103/physrev.125.1067. ISSN 0031-899X. Bibcode: 1962PhRv..125.1067G.
Cheng, T.-P.· Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics (2nd έκδοση). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4.
Arfken, G. B.· Weber, H. J.· Harris, F. E. (2000). Mathematical Methods for Physicists (7th έκδοση). ω. ISBN 978-0-12-384654-9.
Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Πραγματικός αριθμός
Αντιερμιτιανός πίνακας
Δέλτα του Κρόνεκερ
Ταυτοτικός πίνακας
Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Πεπερασμένο σώμα
Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
Πολλαπλασιασμός πινάκων
Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Kent, Allen· Williams, James G. (26 Αυγούστου 1998). Encyclopedia of Computer Science and Technology: Volume 39 - Supplement 24 - Entity Identification to Virtual Reality in Driving Simulation. CRC Press. ISBN 978-0-8247-2292-0.
↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF).
↑ Sylvester, James Joseph· Parshall, Karen Hunger (10 Ιανουαρίου 2013). James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-967138-0.
↑ «SYLVESTER'S MATRIX THEOREM». sepwww.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2024.
↑ Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014
↑ Maroulas, J.; Dascalopoulos, D. (1981-03-01). «Applications of the generalized Sylvester matrix». Applied Mathematics and Computation 8 (2): 121–135. doi:10.1016/0096-3003(81)90003-5. ISSN 0096-3003. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0096300381900035.

Paley, R.E.A.C. (1933). «On orthogonal matrices». Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311.
Zbl 0007.10004
.
L. D. Baumert; S. W. Golomb; M. Hall Jr (1962). «Discovery of an Hadamard matrix of order 92». Bull. Amer. Math. Soc. 68 (3): 237–238. doi:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7.
F.J. MacWilliams· N.J.A. Sloane (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland. σελίδες 47, 56. ISBN 0-444-85193-3.

[1] Kent, Allen· Williams, James G. (26 Αυγούστου 1998). Encyclopedia of Computer Science and Technology: Volume 39 - Supplement 24 - Entity Identification to Virtual Reality in Driving Simulation. CRC Press. ISBN 978-0-8247-2292-0.

[2] «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF).

[3] Sylvester, James Joseph· Parshall, Karen Hunger (10 Ιανουαρίου 2013). James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-967138-0.

[4] «SYLVESTER'S MATRIX THEOREM». sepwww.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2024.

[«amv2014»-5] Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014

[6] Maroulas, J.; Dascalopoulos, D. (1981-03-01). «Applications of the generalized Sylvester matrix». Applied Mathematics and Computation 8 (2): 121–135. doi:10.1016/0096-3003(81)90003-5. ISSN 0096-3003. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0096300381900035.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]