Μέθοδος δεύτερης ροπής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή , με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την ή διακύμανση . Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή με ,[1]:47[2]:143[3]

Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή , εμφανίζεται και με την μορφή

Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

1η Μορφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για την τυχαία μεταβλητή με διακύμανση , η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει για

Όταν έπεται ότι . Συνεπώς,

2η Μορφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές και , ισχύει ότι

Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή , για την οποία ισχύει ότι και από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι

,

καθώς η είναι μη-αρνητική και αν τότε και (άρα ), ενώ διαφορετικά (άρα ). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Νικολετσεας, Σωτήρης Ε.· Σπυράκης, Παύλος Γ. (2003). Στοιχεία της πιθανοτικής μεθόδου (PDF). Gutenberg. 
  2. Mitzenmacher, Michael. Probability and computing : randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis (2η έκδοση). Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1107154889. 
  3. Janson, Svante (1996). «The Second Moment Method, Conditioning and Approximation». Random Discrete Structures: 175–183. doi:https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0719-1_11.