Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ένα φράγμα στην πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή να αποκλίνει από την αναμενόμενη τιμή της, συναρτήσει της διακύμανσής της. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τυχαία μεταβλητή με πεπερασμένη διακύμανση , ισχύει για κάθε [1][2]:319[3]:45[4]:54

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τυπική απόδειξη της ανισότητας Τσεμπισιόφ προκύπτει από την εφαρμογή της ανισότητας Μαρκόφ η οποία λέει ότι για οποιαδήποτε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή , ισχύει ότι για κάθε

.

Υπενθυμίζουμε επίσης ότι η διακύμανση της ορίζεται ως

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ προκύπτει από την ανισότητα Μαρκόφ, θεωρώντας την τυχαία μεταβλητή

Πιο συγκεκριμένα, για την (που είναι μη-αρνητική ως το τετράγωνο μίας τυχαίας μεταβλητής), η ανισότητα Μαρκόφ δίνει

.

καθώς . Αφού , καταλήγουμε ότι

.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Mitzenmacher, Michael. Probability and computing : randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis (2η έκδοση). Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 9781107154889. 
  2. Grimmett, Geoffrey (2009). Probability and random processes (3rd έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780198572220. 
  3. Νικολετσέας, Σ. Ε.· Σπυράκης, Π. Γ. (2003). Στοιχεία πιθανοτικής μεθόδου (PDF). Αθήνα: Gutenberg. 
  4. Πάσχος, Γ. (2011). «Πιθανότητες και στοχαστικές διαδικασίες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 2022.