Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσεμπισιόφ (αναφέρεται και ως ανισότητα Chebyshev) δίνει ένα φράγμα στην πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή $X$ να αποκλίνει από την αναμενόμενη τιμή της, συναρτήσει της διακύμανσής της. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τυχαία μεταβλητή $X$ με πεπερασμένη διακύμανση $\operatorname {Var} (X)<\infty$, ισχύει για κάθε $a>0$

$\Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.$

Απόδειξη

Η τυπική απόδειξη της ανισότητας Τσεμπισιόφ προκύπτει από την εφαρμογή της ανισότητας Μαρκόφ η οποία λέει ότι για οποιαδήποτε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή $Y$, ισχύει ότι για κάθε $a>0$

$\Pr(Y\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (Y)}{a}}$.

Υπενθυμίζουμε επίσης ότι η διακύμανση της $X$ ορίζεται ως

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].$

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ προκύπτει από την ανισότητα Μαρκόφ, θεωρώντας την τυχαία μεταβλητή

$Y=(X-\operatorname {E} (X))^{2}.$

Πιο συγκεκριμένα, για την $Y$ (που είναι μη-αρνητική ως το τετράγωνο μίας τυχαίας μεταβλητής), η ανισότητα Μαρκόφ δίνει

$\Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}$.

καθώς $\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)$. Αφού $a>0$, καταλήγουμε ότι

$\Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}$.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Μαρκόφ
• Ανισότητα Σάμιουελσον