Θεώρημα του Κέισι

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Κέισι, επίσης γνωστό ως γενικευμένο θεώρημα του Πτολεμαίου, είναι ένα θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας που πήρε το όνομά του από τον Ιρλανδό μαθηματικό Τζον Κέισι.

Διατύπωση του θεωρήματος

Έστω $\,O$ ένας κύκλος ακτίνας $\,R$. Έστω $\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ τέσσερις μη τεμνόμενοι κύκλοι που βρίσκονται μέσα στον $\,O$ και εφάπτονται σε αυτόν. Συμβολίζουμε με $\,t_{ij}$ το μήκος της εξωτερικής κοινής διπλής εφαπτομένης των κύκλων $\,O_{i},O_{j}$. Τότε:

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Σηµειώστε ότι στην εκφυλισµένη περίπτωση, όπου και οι τέσσερις κύκλοι ανάγονται σε σηµεία, αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στο θεώρηµα του Πτολεµαίου.

Απόδειξη

Η ακόλουθη απόδειξη οφείλεται στον Ζαχαρία. Συμβολίζουμε την ακτίνα του κύκλου $\,O_{i}$ με $\,R_{i}$ και το σημείο εφαπτομένης του με τον κύκλο $\,O$ με $\,K_{i}$. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό $\,O,O_{i}$ για τα κέντρα των κύκλων. Να σημειωθεί ότι από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

$\,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.$

Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε αυτό το μήκος σε όρους των σημείων $\,K_{i},K_{j}$. Σύμφωνα με τον νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο $\,O_{i}OO_{j}$,

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}$

Δεδομένου ότι οι κύκλοι $\,O,O_{i}$ εφάπτονται μεταξύ τους:

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}$

Έστω $\,C$ ένα σημείο του κύκλου $\,O$. Σύμφωνα με τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\,K_{i}CK_{j}$:

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

Επομένως,

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

Και τέλος, το μήκος που ζητάμε είναι

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}$

Μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε την αριστερή πλευρά, με τη βοήθεια του αρχικού θεώρημα του Πτολεμαίου που εφαρμόζεται στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$:

${\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}$

Περαιτέρω γενικεύσεις

Μπορεί να φανεί ότι οι τέσσερις κύκλοι δεν χρειάζεται να βρίσκονται μέσα στον μεγάλο κύκλο. Στην πραγματικότητα, μπορούν να εφάπτονται σε αυτόν και από το εξωτερικό. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να γίνει η ακόλουθη αλλαγή:

Αν $\,O_{i},O_{j}$ εφάπτονται και οι δύο από την ίδια πλευρά του $\,O$ (και οι δύο μέσα ή και οι δύο έξω), $\,t_{ij}$ είναι το μήκος της εξωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Αν $\,O_{i},O_{j}$ εφάπτονται από διαφορετικές πλευρές του $\,O$ (μία μέσα και μία έξω), $\,t_{ij}$ είναι το μήκος της εσωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Casey. Δηλαδή, αν ισχύει η ισότητα, οι κύκλοι εφάπτονται σε έναν κοινό κύκλο.

Εφαρμογές

Το θεώρημα του Κέισι και το αντίστροφό του μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μιας σειράς δηλώσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Παραδείγματος χάριν, η συντομότερη γνωστή απόδειξη του θεωρήματος του Φόιερμπαχ χρησιμοποιεί το αντίστροφο θεώρημα.

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Overmars, M. H.; van Leeuwen, J. (1981), «Maintenance of configurations in the plane», Journal of Computer and System Sciences 23 (2): 166–204, doi:10.1016/0022-0000(81)90012-X .
• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9 
• Overmars, M. H.; van Leeuwen, J. (1981), «Maintenance of configurations in the plane», Journal of Computer and System Sciences 23 (2): 166–204, doi:10.1016/0022-0000(81)90012-X .
• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987), Mathematical Recreations and Essays (13th έκδοση), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0 
• Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), «Angles, area, and perimeter caught in a cubic», Forum Geometricorum 8: 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200803.pdf, ανακτήθηκε στις 2018-06-03 
• Roland, Brossard (1964), «Birkhoff's Axioms for Space Geometry», The American Mathematical Monthly, https://www.jstor.org/stable/2312318 
• Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2nd, illustrated έκδοση), Springer, σελ. 27, ISBN 9783642309649, https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA27 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Σπείρα του Αρχιμήδη
• Συνέχεια συνάρτησης
• Διπλή εφαπτομένη
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Πτολεμαίου
• Τετραγωνισμός του κύκλου
• Συνημίτονο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Redefining Geometrical Exactness: Descartes’ Transformation of the Early ...
• Essentials of Mathematica: With Applications to Mathematics and Physics
• Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Coolidge, J. L. (April 28, 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0 .
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards .
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5, https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr .