Θεώρημα ρητής ρίζας

Στην άλγεβρα, τo θεώρημα ρητής ρίζας δίνει έναν περιορισμό στις ρητές ρίζες ενός πολυωνύμου

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$,

με ακέραιους συντελεστές $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Πιο συγκεκριμένα, αν $a_{0}$ και $a_{n}$ είναι μη-μηδενικοί, τοτε, κάθε ρητή λύση $x$, δηλαδή με $P(x)=0$ όταν γραφτεί ως αναγωγο κλάσμα $x=p/q$ (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $p$ και $q$ είναι 1), ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:

• p είναι ένας διαιρέτης του σταθερού όρου a₀, και
• το q είναι ένας διαιρέτης του  συντελεστή του μεγιστοβαθμιου όρου a_n.

Τo θεώρημα ρητής ρίζας είναι μια ειδική περίπτωση του πορίσματος του Γκάους για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Τo θεώρημα ακέραιας ρίζας  είναι μια ειδική περίπτωση τoυ θεωρήματος ρητής ρίζας αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου $a_{n}=1$, δηλαδή το πολυώνυμο είναι μονικό.

Εφαρμογή

Το θεώρημα χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί εαν ένα πολυώνυμο έχει ρητές ρίζες, και αν έχει, τότε επίσης για την εύρεση τους. Αφου το θεώρημα δίνει περιορισμούς σχετικά με τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ανάγωγων ρητών ριζών ως διαιρέτες ορισμένων αριθμών, όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί των διαιρετών τους μπορούν να ελεγχθούν και είτε να βρεθούν οι ρητές ρίζες ή να διαπιστωθεί ότι δεν υπάρχουν. Εάν βρεθούν μια ή περισσότερες ρίζες τότε μπορεί να γίνει η διαίρεση με τους αντίστοιχους πρωτοβάθμιους παράγοντες, δηλαδή να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο, δίνοντας ως αποτέλεσμα ένα πολυώνυμο χαμηλότερου βαθμού, του οποίου οι ρίζες είναι επίσης ρίζες του αρχικού πολυωνύμου.

Κυβική εξίσωση

Η γενική κυβική εξίσωση

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

με ακέραιους συντελεστές έχει τρεις λύσεις στους μιγαδικούς αριθμούς. Εάν διαπιστωθεί από την δοκιμή ρητής ρίζας ότι δεν υπάρχουν ρητές λύσεις, τότε ο μόνος τρόπος για να εκφράστουν οι λύσεις αλγεβρικά είναι να χρησιμοποιήθουν κύβικες ρίζες. Αλλά αν η δοκιμή βρει τρεις ρητές λύσεις, τότε οι κύβικες ρίζες αποφεύγονται. Και αν βρεθεί να υπάρχει ακριβώς μία ρητή λύση r,  , τότε το (x – r) μπορεί να διαιρεθεί από το κυβικό πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο πολυώνυμικης διαίρεσης, αφήνοντας ένα τετραγωνικό πολυώνυμο , του οποίου οι δύο ρίζες είναι οι υπόλοιπες δύο ρίζες του  κυβικού, και αυτές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο, και πάλι αποφεύγοντας τη χρήση των κυβικών, ρίζες.

Αποδείξεις

Απόδειξη  

Ας P(x) = α_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + α₁x + α₀ για κάποιο α₀, ..., a_n ∈ Z, και ας υποθέσουμε ότι P(p/q) = 0 για κάποιους σχετικά πρώτους p, q ∈ Z:

$P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.$

Αν πολλαπλασιάσουμε τις δύο πλευρές με qⁿ, μετακινήσουμε το σταθερό όρο στην δεξιά πλευρά, και τον παράγοντα p στην αριστερή πλευρά, έχουμε

$\qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.$

Βλέπουμε ότι p φορές την ακέραια  ποσότητα στην παρένθεση ισούται με −α₀qⁿ, άρα ο p διαιρεί τον α₀qⁿ. Αλλά ο p  είναι σχετικά πρώτος με τον q   και, επομένως,και με τον  qⁿ, οπότε από την (γενικευμένη μορφή) του λήμματος του Ευκλείδη  πρέπει να διαιρεί τον υπόλοιπο παράγοντα α₀ του γινομένου

΅Εαν εναλλακτικά μετακινήσουμε το μεγιστοβάθμιο όρο στη δεξιά πλευρά και τον παράγοντα q στην αριστερή πλευρά, έχουμε

$\qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.$

Και για παρόμοιους λόγους, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το q διαιρεί τον α_ν.

Απόδειξη χρησιμοποιώντας το λήμμα Γκάους  

Εαν υπάρχει ένας μη τετριμμένος παράγοντας που  διαιρεί όλους τους συντελεστές του πολυωνύμου, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε με το μέγιστο κοινό διαιρέτη των συντελεστών, έτσι ώστε να αποκτήσουμε ενα ανάγωγο πολυώνυμο κατά την έννοια του του λήμματος του Gauss.  Αυτό δεν αλλάζει το σύνολο των ρητών ριζών και ενισχύει μόνο τις συνθηκες διαιρετότητας. Αυτό το λήμμα λέει ότι, αν το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως  ℚ[X] τότε, επίσης, παραγοντοποιείται ως ℤ[X] σαν γινόμενο ανάγωγων πολυώνυμων. Τώρα κάθε ρητή ρίζα του, p/q αντιστοιχεί σε ένα παράγοντα  βαθμού 1 του ℚ[X] των πολυωνύμων, το ανάγωγο εκπρόσωπος  qx − p, αν υποθέσουμε ότι p και q είναι  σχετικά πρώτοι. Αλλά κάθε πολλαπλάσιο  του qx − p στο ℤ[X] έχει  μεγιστοβάθμιο όρο που διαιρείται με το q και σταθερό ορο που διαιρείται από το p, το οποίο αποδεικνύει τη ζητούμενο. Αυτό το επιχείρημα δείχνει ότι, γενικότερα, κάθε ανάγωγος παράγοντας του P μπορεί να υποτεθεί ότι έχει ακέραιους συντελεστές, και συντελεστές μεγιστοβάθμιου και σταθερού όρου που  διαιρούν τους αντίστοιχους συντελεστές του P.

Παραδείγματα

Πρώτo

Το πολυώνυμο

$2x^{3}+x-1,$

κάθε ρητή ρίζα στην ανάγωγη μορφή της θα πρέπει να έχει αριθμητή που διαιρεί το 1 και παρονομαστή που διαιρεί το 2. Ως εκ τούτου, οι μόνες δυνατές ρητές ρίζες είναι ±1/2 και ±1, και δεδομένου ότι καμία από αυτές δεν δινει στο πολυώνυμο την τιμη μηδέν, δεν υπάρχει καμία ρητή ρίζα.

Δεύτερο

Στο πολυώνυμο

$x^{3}-7x+6$,

οι μόνες δυνατές ρητές ρίζες θα έχουν αριθμητή που διαιρεί το 6 και παρανομαστή που διαιρεί το 1, περιορίζοντας τις δυνατότητες ±1, ±2, ±3, ±6. Από αυτά, 1, 2, -3 εξισώνουν το πολυώνυμο με το μηδέν, και ως εκ τούτου είναι ρητές ρίζες. (Στην πραγματικότητα, αυτές είναι οι μοναδικες ρίζες αφου ένα κυβικό έχει μόνο τρεις ρίζες, εν γένει, ένα πολυώνυμο θα μπορούσαν να έχουν κάποιες ρητές και κάποιες Άρρητες ρίζες.)

Τρίτo

Κάθε ρητή ρίζα του πολυωνύμου

$3x^{3}-5x^{2}+5x-2$

πρέπει να είναι μεταξύ των αριθμών που συμβολικά σημειώνονται ως

$\pm {\frac {1,2}{1,3}}$,

η οποία δίνει τη λίστα με τις 8 πιθανές απαντήσεις:

$\pm \left\{1,2,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right\}.$

Αυτες οι υποψήφιες ρίζες  μπορούν να εξεταστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Horner  (για παράδειγμα). Στη συγκεκριμένη περίπτωση, υπάρχει ακριβώς μία ρητή ρίζα. Αν μια υποψήφια ρίζα δεν προκαλεί το πολυώνυμο να ισούται με μηδέν, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελαττώσει τη λίστα των υπόλοιπων υποψηφίων. Για παράδειγμα, το x = 1 δεν λειτουργεί,μια και το πολυώνυμο τότε ισούται με 1. Αυτό σημαίνει ότι η αντικατάσταση x = 1 + t παράγει ένα πολυώνυμο t με σταθερό όρο 1, ενώ ο συντελεστής t³ παραμένει ο ίδιος με το συντελεστή του x³. Εφαρμόζοντας θεώρημα ρητής ρίζας έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες πιθανές ρίζες για:

$t=\pm {\frac {1}{1,3}}.$

Ως εκ τούτου,

$x=1+t=2,0,{\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}.$

υποψήφιες ρίζες  που δεν υπάρχουν και στις δύο λίστες έχουν αποκλειστεί. Η λίστα με τις υποψήφιες ρίζες  πρέπει, συνεπώς, να συρρικνωθεί στο x = 2 και x = 2/3.

Αν κ ρητές  ρίζες βρεθούν (k ≥ 1), η μέθοδος Horner επίσης θα αποδώσει ένα πολυώνυμο βαθμού n − k του οποίου οι ρίζες, μαζί με τις ρητές ρίζες, είναι ακριβώς οι ρίζες του αρχικού πολυωνύμου. Μπορεί επίσης να συμβεί η περίπτωση που κανένας από τους υποψήφιους δεν είναι μια λύση, σε αυτήν την περίπτωση η εξίσωση  του πολυωνύμου ίσου με το 0 δεν έχει καμία ρητή λύση. Αν απ'ο την εξίσωση λείπει ο σταθερός όρος α₀, τότε το 0 είναι μία από τις ρητές λύσεις της εξίσωσης.

Δείτε επίσης

• Κανόνας προσήμων του Ντεκάρτ
• Θεώρημα Γκάους-Λυκά
• Κριτήριο Eisenstein

Βιβλιογραφία

• Miller, Charles D.· Lial, Margaret L.· Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3η έκδοση). Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education. σελίδες 216-221. ISBN 0-673-38638-4. 
• Jones, Phillip S.· Bedient, Jack D. (1998). The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications. σελίδες 116–117. ISBN 0-486-25563-8. 
• Larson, Ron (2007). Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning. σελίδες 23–24. ISBN 978-0-618-95825-2. 

Εξωτερικές συνδέσεις

• Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem". MathWorld.
• RationalRootTheorem Αρχειοθετήθηκε 2011-06-28 στο Wayback Machine. at PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com