Γένος (μαθηματικά)

Μια επιφάνεια γένους-2

Στα μαθηματικά, το γένος έχει μερικές διαφορετικές, αλλά στενά συσχετισμένες έννοιες. Η πιο κοινή έννοια, είναι αυτή που ορίζει ότι το γένος μιας (προσανατολισμένης) επιφάνειας, είναι ο αριθμός των "τρυπών" που έχει.

Τοπολογία

Προσανατολισμένη επιφάνεια

Ντόνατ ή κούπα καφέ;

Το γένος μιας συνεκτικής, προσανατολισμένης επιφάνειας είναι ένας ακέραιος που αναπαριστά τον μέγιστο αριθμό τομών που μπορούν να γίνουν κατά μήκος κλειστών απλών καμπυλών που δεν τέμνονται μεταξύ τους, χωρίς να έχουν σαν αποτέλεσμα μια μη-συνεκτική πολλαπλότητα. Είναι ίσο με τον αριθμό των λαβών σε αυτό. Εναλλακτικά, μπορεί να οριστεί με βάση το χαρακτηριστική του Όιλερ χ, μέσω της σχέσης χ = 2 - 2g για κλειστές επιφάνειες, όπου g είναι το γένος. Για τις επιφάνειες με σύνορα b, η εξίσωση γίνεται χ = 2 - 2g - b. Με απλά λόγια, είναι ο αριθμός των "τρυπών" που έχει ένα αντικείμενο (ως "τρύπα" θεωρούμε το είδος της τρύπας του ντόνατ, μια κοίλη σφαίρα θεωρείται ότι δεν έχει τρύπες με αυτή την έννοια). Ένα ντόνατ, ή ο τόρος, έχει μια τέτοια τρύπα. Μια σφαίρα έχει 0. Η πράσινη επιφάνεια που απεικονίζεται δεξιά έχει 2 τρύπες του είδους είδους που περιγράψαμε.

Για παράδειγμα:

• Η σφαίρα S² και ένας δίσκος έχουν γένος μηδέν.
• Ο τόρος έχει γένος ένα, όπως και η επιφάνεια μιας κούπας καφέ με μια λαβή. Από αυτό προέρχεται και το αστείο: "οι τοπολόγοι είναι άνθρωποι που δεν μπορούν να ξεχωρίσουν το ντόνατ τους από την κούπα του καφέ τους".

• Genus of orientable surfaces
• 
  γένος 0
• 
  γένος 1
• 
  γένος 2
• 
  γένος 3

Μη προσανατολίσιμες επιφάνειες

Το μη-προσανατολίσιμο γένος, ημιγένος ή γένος του Όιλερ μιας συνεκτικής, μη προσανατολίσιμης κλειστής επιφάνειας είναι ένας θετικός ακέραιος που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των cross-caps που έχουν προσδεθεί σε μία σφαίρα. Εναλλακτικά, μπορεί να οριστεί για μία κλειστή επιφάνεια με βάση τη Χαρακτηριστική Όιλερ $\chi$, μέσω της σχέσης:

$\chi =2-k$ ,

όπου $k$ είναι το μη-προσανατολίσιμο γένος.

Για παράδειγμα:

• Ένα πραγματικό προβολικό επίπεδο έχει μη-προσανατολίσιμο γένος 1.
• Ένα μπουκάλι του Κλάιν έχει μη-προσανατολίσιμο γένος 2.

Κόμβος

Το γένος ενός κόμβου K ορίζεται ως το ελάχιστο γένος όλων των επιφανειών Σάιφερτ για τον K.

Μια επιφάνεια Σάιφερτ ενός κόμβου είναι, ωστόσο, μια πολλαπλότητα με σύνορο, όπου το σύνορο είναι ο κόμβος, δηλαδή ομοιομορφικός με τον μοναδιαίο κύκλο. Το γένος μιας τέτοιας επιφάνειας ορίζεται ως το γένος της διδιάστατης πολλαπλότητας που προκύπτει με το gluing του μοναδιαίου δίσκου κατά μήκος του συνόρου.