Αξιώματα Χίλμπερτ

Τα αξιώματα του Χίλμπερτ είναι ένα σύνολο 20 παραδοχών που πρότεινε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1899 στο βιβλίο του Grundlagen der Geometrie [Τα θεμέλια της γεωμετρίας] ως θεμέλιο για μια σύγχρονη αντιμετώπιση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Άλλες γνωστές σύγχρονες αξιωματικοποιήσεις της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι αυτές του Άλφρεντ Τάρσκι και του Τζορτζ Μπίρκοφ.

Ορισμός

Τα αξιώματα Χίλμπερτ της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ορίζονται ως εξής:

1. Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο που τα στοιχεία του ονομάζουμε σημεία ${\rm {\{A,B,\Gamma ,\ldots \}}}$. Το σύνολο $X$ θα το λέμε γεωμετρικό χώρο. Κάθε υποσύνολο του γεωμετρικού χώρου θα το λέμε σχήμα.
2. Μέσα στο γεωμετρικό χώρο δεχόμαστε δυο βασικές κατηγορίες από υποσύνολα, τις ευθείες $\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \}$ και τα επίπεδα $\{P,Q,R,S,\ldots \}$.

Τα είδη των μαθηματικών αντικειμένων

Στο σύστημα του Χίλμπερτ τα αρχικά μαθηματικά αντικείμενα είναι τριών ειδών:

• τα «σημεία»,
• οι «ευθείες», και
• τα «επίπεδα».

Τα αντικείμενα αυτά συνδέονται μεταξύ τους με τις σχέσεις

• του «ανήκειν»,
• του «μεταξύ», και
• της «ισοδυναμίας».

Τα αξιώματα

Το σύστημα του Χίλμπερτ εξετάζει τις αρχικές αυτές έννοιες και τις σχέσεις τους και οι πέντε ομάδες αξιωμάτων που εισάγει συνιστούν έμμεσο ορισμό των αρχικών αντικειμένων και των σχέσεων τους.

(Ι) Τα αξιώματα σύνδεσης («ανήκειν») ορίζουν τις ιδιότητες της σχετικής θέσης μεταξύ σημείων, ευθειών και επιπέδων .

(II) Τα αξιώματα διάταξης ορίζουν τις ιδιότητες της σχετικής θέσης σημείων πάνω σε μια ευθεία ή ένα επίπεδο.

(III) Τα αξιώματα σύνδεσης ισοδυναμίας ορίζουν την έννοια της «ισότητας» δύο τμημάτων ή γωνιών.

(IV) Τα αξιώματα συνέχειας

(V) Το αξίωμα παραλληλίας

I. Αξιώματα σύνδεσης

(Ι₁) Από οποιαδήποτε δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.

(Ι₂) Σε κάθε ευθεία υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία.

(Ι₃) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία.

(Ι₄) Από οποιαδήποτε τρία σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία, διέρχεται ένα μόνο επίπεδο.

(Ι₅) Σε οποιοδήποτε επίπεδο υπάρχει πάντοτε ένα σημείο που ανήκει σε αυτό.

(Ι₆) Αν δύο σημεία βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά βρίσκεται σ' αυτό το επίπεδο.

(Ι₇) Αν δύο επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε έχουν τουλάχιστον ένα ακόμα κοινό σημείο.

(Ι₈) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

II. Αξιώματα διάταξης

• (IΙ₁) Από τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας ένα και μόνον ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων.
• (ΙΙ₂) Για οποιαδήποτε δύο σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ${\rm {B}}$ στην ευθεία ${\rm {A\Gamma }}$ τέτοιο, ώστε το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ να βρίσκεται μεταξύ του ${\rm {A}}$ και του ${\rm {B}}$.
• (ΙΙ₃) Για οποιαδήποτε τρία σημεία μιας ευθείας υπάρχει όχι περισσότερο από ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Η σχέση του «μεταξύ» για σημεία σε μια ευθεία μας επιτρέπει να ορίσουμε την έννοια του ευθύγραμμου τμήματος.
• (ΙΙ₄) Έστω ${\rm {A,B,\Gamma }}$ τρία σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έστω $\varepsilon$ ευθεία στο επίπεδο των ${\rm {A,B,\Gamma }}$ που δε διέρχεται από κανένα από τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$. Αν η ευθεία $\varepsilon$ διέρχεται από ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ${\rm {AB}}$, τότε πρέπει να διέρχεται κι από ένα σημείο του τμήματος ${\rm {A\Gamma }}$ ή από ένα σημείο του τμήματος ${\rm {B\Gamma }}$ (Αξίωμα του Πας).

III. Αξιώματα ισοδυναμίας

• (IIΙ₁) Αν ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ είναι δύο διαφορετικά σημεία στην ευθεία $\varepsilon$ και ${\rm {A'}}$ είναι ένα σημείο της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας $\varepsilon '$, τότε μπορεί πάντοτε να βρεθεί σημείο ${\rm {B'}}$ που βρίσκεται στο δεδομένο από το σημείο ${\rm {A'}}$ μέρος της ευθείας $\varepsilon '$ τέτοιο, ώστε το τμήμα ${\rm {AB}}$ να είναι ισοδύναμο (ίσο) με το τμήμα ${\rm {A'B'}}$.
• (ΙIΙ₂) Αν δύο τμήματα είναι ισοδύναμα προς τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ισοδύναμα.
• (ΙIΙ₃) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {B\Gamma }}$ δύο τμήματα της ευθείας $\varepsilon$ που δεν έχουν κοινό σημείο και έστω επίσης ${\rm {A'B'}}$ και ${\rm {B'\Gamma '}}$ δύο τμήματα της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας $\varepsilon '$ που επίσης δεν έχουν κοινό σημείο. Αν τώρα ${\rm {AB=A'B'}}$, ${\rm {B\Gamma =B'\Gamma '}}$, τότε και ${\rm {A\Gamma =A'\Gamma '}}$.

Η γωνία ορίζεται ως το σχήμα που αποτελείται από δύο διαφορετικές ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο.

• (IIΙ₄) Από δεδομένη ημιευθεία σε δεδομένο ημιεπίπεδο που ορίζεται από αυτή την ημιευθεία και την προέκταση της, μπορεί να σχηματιστεί μια μοναδική γωνία ισοδύναμη με τη δεδομένη γωνία.
• (IIΙ₅) Αν δύο τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A_{1}B_{1}\Gamma _{1}}}$ έχουν ${\rm {AB=A_{1}B_{1}}}$, ${\rm {A\Gamma =A_{1}\Gamma _{1}}}$ και γωνίες ${\rm {{\hat {A}}={\hat {A}}_{1}}}$, τότε ισχύει ότι ${\rm {{\hat {B}}={\hat {B}}_{1}}}$ και ${\rm {{\hat {\Gamma }}={\hat {\Gamma }}_{1}}}$.

IV. Αξιώματα συνέχειας

• (IV₁) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ δύο οποιαδήποτε τμήματα. Τότε στην ευθεία ${\rm {AB}}$ υπάρχει πεπερασμένος αριθμός σημείων ${\rm {A_{1},A_{2},\ldots ,A_{\nu }}}$, τέτοιων ώστε τα τμήματα ${\rm {AA_{1},A_{1}A_{2},\ldots ,A_{\nu -1}A_{\nu }}}$ να είναι ισοδύναμα με το τμήμα ${\rm {\Gamma A}}$ και το σημείο ${\rm {B}}$ να βρίσκεται μεταξύ του $A$ και του ${\rm {A_{\nu }}}$ (Αρχιμήδεια ιδιότητα).
• (IV₂) Τα σημεία μιας ευθείας σχηματίζουν σύστημα, το οποίο, τηρούμενης της γραμμικής διάταξης, του πρώτου αξιώματος ισοδυναμίας και του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη δεν είναι επεκτάσιμο, δηλ. σε αυτό το σύστημα σημείων δεν είναι δυνατόν να προστεθεί ένα ακόμα σημείο, έτσι ώστε στο επεκτεταμένο σύστημα που αποτελείται από το αρχικό σύστημα και το συμπληρωματικό σημείο να ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώματα (αξίωμα γραμμικής πληρότητας).

V. Το αξίωμα παραλληλίας

• Έστω $\varepsilon$ τυχούσα ευθεία και σημείο ${\rm {A}}$ εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο ${\rm {A}}$ υπάρχει όχι περισσότερο από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\rm {A}}$ και δεν τέμνει την ευθεία $\varepsilon$.

Τα θεωρήματα (ύπαρξης) του Γεωμετρικού Χώρου

Τα παρακάτω θεωρήματα προκύπτουν από τα αξιώματα Χίλμπερτ:

Θεώρημα 1: Αν τρία σημεία είναι πάνω σε ευθεία τότε κάθε ένα από αυτά είναι πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα δυο άλλα.

Θεώρημα 2: Υπάρχει σημείο που είναι έξω από δοσμένη ευθεία.

Θεώρημα 3: Αν δυο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο τότε η τομή τους είναι ευθεία.

Θεώρημα 4: Αν τέσσερα σημεία δεν ανήκουν σε ίδιο επίπεδο, τότε δεν υπάρχει τριάδα από αυτά που να είναι πάνω στην ίδια ευθεία.

Θεώρημα 5: Υπάρχει σημείο έξω από δοσμένο επίπεδο.

Θεώρημα 6: Υπάρχουν δυο ευθείες που δεν είναι πάνω στο ίδιο επίπεδο.

Θεώρημα 7: Υπάρχουν δυο επίπεδα.

Θεώρημα 8: Ευθεία και σημείο έξω από αυτή ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο.

Θεώρημα 9: Από δυο τεμνόμενες ή παράλληλες ευθείες ορίζεται ακριβώς ένα επίπεδο.

Θεώρημα 10: (Αστέρος) Εάν ευθείες τέμνονται ανά δυο και δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε περνούν από το ίδιο σημείο.

Θεώρημα 11 (Ημιεπίπεδο): Έστω ένα επίπεδο $S$ και μία ευθεία του $\alpha$. Τα σημεία εκτός της ευθείας $\alpha$ τα βάζουμε σε δύο σύνολα $S_{1}$ και στο $S_{2}$, ώστε να ισχύει ότι

Ε₁: Αν το σημείο ${\rm {A}}$ ανήκει στο $S_{1}$ και το ${\rm {B}}$ ανήκει στο $S_{1}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ δεν έχει κοινά σημεία με την $\alpha$.

Ε₂: Αν ${\rm {A}}$ ανήκει στο $S_{1}$ και ${\rm {\Gamma }}$ ανήκει στο $S_{2}$ τότε το ${\rm {A\Gamma }}$ έχει κοινό σημείο με την $\alpha$. Τα σύνολα $S_{1},\alpha ,S_{2}$ αποτελούν ένα διαμερισμό του $S$.

Τα σύνολα $S_{1}$, και $S_{2}$ ονομάζονται ανοικτά ημιεπίπεδα ενώ $S_{1}$ με την $\alpha$ (ή $S_{2}$) με την $\alpha$ κλειστά ημιεπίπεδα με αρχική ευθεία την $\alpha$ και φορέα το $S$. Τα Ημιεπίπεδα με την αρχική ημιευθεία και τον ίδιο φορέα ονομάζονται αντίθετα.

Θεώρημα 12 (Θέση σημείου και επιπέδου):

Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο $S$ και ένα σημείο ${\rm {A}}$, τότε

Ε₁: το ${\rm {A}}$ ανήκει στο $S$, ή

Ε₂: το ${\rm {A}}$ δεν ανήκει στο $S$,

Θεώρημα 13 (Ημίχωρος): Θεωρούμε επίπεδο $S$ τότε και τα σημεία του χώρου διαμερίζονται σε τρία σύνολα $X_{1},X_{2},S$, ώστε

Ε₁: Αν τα σημεία $A,B$ ανήκουν και τα δύο στο $X_{1}$, ή $X_{2}$, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ δεν τέμνει το $S$.

Ε₂: Αν ${\rm {A}}$ ανήκει στο $X_{1}$ και το ${\rm {\Gamma }}$ ανήκει στο $X_{2}$ τότε ${\rm {A\Gamma }}$ και $S$ έχουν ένα κοινό σημείο με το $S$. (ίχνος ευθείας και επιπέδου).

Τα σύνολα $X_{1},X_{2}$ τα ονομάζουμε ανοιχτούς ημιχώρους, ενώ τα $X_{1}\cup S$ ή $X_{2}\cup S$, κλειστούς ημιχώρους. Τα σημεία ${\rm {A,B}}$ λέμε ότι είναι προς το ίδιο μέρος του $S$ ενώ τα ${\rm {A,\Gamma }}$ από τη μια και την άλλη μεριά του $S$.

Θεώρημα 14 (θέση ευθείας και επίπεδου): Θεωρούμε ευθεία $\alpha$ και επίπεδο $S$, Τότε,

Ε₁: Αν ή ευθεία $\alpha$ και το επίπεδο $S$ έχουν δυο κοινά σημεία τότε, από το αξίωμα ΙΙΙ, η $\alpha$ είναι υποσύνολο του $S$ ή βρίσκεται στο $S$.

E₂: Αν η ευθεία $\alpha$ και το $S$, έχουν ένα κοινό σημείο ${\rm {A}}$ (δηλαδή $\alpha \cap S=\{{\rm {A\}}}$), τότε το ${\rm {A}}$ λέγεται κοινό σημείο τής ευθείας με το επίπεδο ή ίχνος, και θα λέμε ότι ή ευθεία και το επίπεδο τέμνονται.

Ε₃: Εάν $\alpha \cap S=\varnothing$, τότε λέμε ότι η $\alpha$ είναι παράλληλη στο $S$.

Θεώρημα 15 (Θέση δυο ευθειών):

Θεωρούμε δυο ευθείες $\alpha$ και $\beta$.

Ε₁: Αν οι $\alpha ,\beta$ είναι υποσύνολα του ίδιου επιπέδου, τότε λέγονται συνεπίπεδες ή συμβατές.

E₂: Οι $\alpha ,\beta$ δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε λέγονται ασύμβατεs ή στρεβλέs.

Άρα ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται ή, θα ταυτίζονται.

Θεώρημα 16 (θέση δύο επιπέδων): Έστω δυο επίπεδα $P,S$.

Ε₁: Αν τα επίπεδα περιέχουν και τα δύο τρία σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$ διαφορετικά μεταξύ τους που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, λέμε ότι ταυτίζονται αν $P\cap S=P=S$.

Δυο επίπεδα που δεν ταυτίζονται λέγονται διάφορα ή διακεκριμένα ($P\neq S$) .

Ε₂: Αν σημείο ${\rm {A}}\in P$ και ${\rm {A}}\in S$ και $P\neq S$, τότε έχον κοινή και μία ευθεία και θα λέμε ότι τέμνονται κατά μία ευθεία (έστω $\alpha$), δηλαδή $P\cap S=\alpha$.

Ε₃: Αν $P\cap S=\varnothing$, τότε τα επίπεδα λέγονται παράλληλα.

Δείτε επίσης

• Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας
• Αξιώματα Μπίρκοφ