Διαμερισμός συνόλου

Διαμερισμός του συνόλου $A$ σε πέντε υποσύνολα.

Στην θεωρία συνόλων, διαμερισμός, διαμέριση ή διαμελισμός ενός μη κενού συνόλου $A$, είναι ένα σύνολο $U=\{U_{i}\}$ υποσυνόλων του $A$, τα οποία

• είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους

$\forall i\not =j.\ (U_{i}\cap U_{j}=\emptyset )$

• και επιπλέον έχουν ένωση το σύνολο $A$, δηλαδή

$\bigcup _{i}U_{i}=A$

Κάθε διαμερισμός $U$ ενός συνόλου $A$ ορίζει μία σχέση ισοδυναμίας $\equiv _{U}$ μεταξύ των στοιχείων του συνόλου, ως εξής:

$a\equiv _{U}b$ αν και μόνο αν υπάρχει $i$ τέτοιο ώστε $a,b\in U_{i}$.

Αντίστροφα, κάθε σχέση ισοδυναμίας σε σύνολο επάγει και έναν διαμερισμό του συνόλου, που ορίζεται από τις κλάσεις ισοδυναμίας της.

Ο διαμερισμός ενός συνόλου χαρακτηρίζεται λεπτός ή αδρός ανάλογα με το πλήθος των υποσυνόλων που τον απαρτίζουν. Συγκεκριμένα, αν $\{U_{i}\}_{i\in I}$ και $\{V_{j}\}_{j\in J}$ είναι δύο διαφορετικοί διαμερισμοί του ίδιου συνόλου, λέμε ότι ο πρώτος είναι λεπτότερος από το δεύτερο και ο δεύτερος αδρότερος από τον πρώτο, αν ο πληθάριθμος του I είναι μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο του J.

Παραδείγματα

• Στους ακεραίους αριθμούς, οι περιττοί $\{\ldots ,-3,-1,+1,+3,\ldots \}$ και οι άρτιοι αριθμοί $\{\ldots ,-4,-2,0,+2,+4,\ldots \}$ συνιστούν έναν διαμερισμό.
• Πιο γενικά, στους ακεραίους οι κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται με το υπόλοιπο ενός φυσικού αριθμού $n$ συνιστούν έναν διαμερισμών των ακεραίων. Για παράδειγμα, για $n=5$, οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι εξής:

$[0]_{5}=\{\ldots ,-10,-5,0,+5,+10,\ldots \}$,

$[1]_{5}=\{\ldots ,-9,-4,0,+1,+6,\ldots \}$,

$[2]_{5}=\{\ldots ,-8,-3,0,+2,+7,\ldots \}$,

$[3]_{5}=\{\ldots ,-7,-2,0,+3,+8,\ldots \}$,

$[4]_{5}=\{\ldots ,-6,-1,0,+4,+9,\ldots \}$.

• Στην γεωμετρία, μία ευθεία και τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει συνιστούν έναν διαμερισμό των σημείων του επιπέδου.

Δείτε ακόμη

• Σύνολο
• Σχέση ισοδυναμίας